1、智浪教育-普惠英才文库高中物理竞赛稳恒电流习题一、纯电阻电路的简化和等效1、等势缩点法将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析【物理情形 1】在图 8-4 甲所示的电路中，R 1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求 A、B 两端的等效电阻 RAB 。【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图 8-4 甲图中的 A、D 缩为一点A 后，成为图 8-4 乙图对于图 8-4 的乙图，求 RAB就容易了。【答案】R AB = R 。83【物理情形 2】在图 8-
2、5 甲所示的电路中，R 1 = 1 ，R 2 = 4 ，R 3 = 3 ，R 4 = 12 ，R 5 = 10 ，试求 A、B 两端的等效电阻 RAB 。【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将 A、B 两端接入电源，并假设 R5不存在，C、D 两点的电势有什么关系？学员判断结论：相等。因此，将 C、D 缩为一点 C 后，电路等效为图 8-5 乙对于图 8-5 的乙图，求 RAB是非常容易的。事实上，只要满足 = 的关系，21R43我们把桥式电路称为“平衡电桥” 。智浪教育-普惠英才文库【答案】R AB = 。415相关介绍英国物理学家惠斯登曾将图 8-5 中的 R5换成灵敏
3、电流计 ， G将 R1 、R 2中的某一个电阻换成待测电阻、将 R3 、R 4换成带触头的电阻丝，通过调节触头 P 的位置，观察电流计示数为零来测量带测电阻 Rx的值，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥” 。请学员们参照图 8-6 思考惠斯登电桥测量电阻的原理，并写出 Rx的表达式（触头两端的电阻丝长度 LAC和 LCB是可以通过设置好的标尺读出的） 。学员思考、计算【答案】R x = R0 。ACBL【物理情形 3】在图 8-7 甲所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 R ，试求 A、B 两点之间的等效电阻 RAB 。【模型分析】在本模型中，我们介绍“对称等势”
4、的思想。当我们将 A、B两端接入电源，电流从 A 流向 B 时，相对 A、B 连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的，即：在图 8-7 乙图中标号为 1 的点电势彼此相等，标号为 2的点电势彼此相等。将它们缩点后，1 点和 B 点之间的等效电路如图 8-7 丙所示。不难求出，R 1B = R ，而 RAB = 2R1B 。145【答案】R AB = R 。72、Y 型变换【物理情形】在图 8-5 甲所示的电路中，将 R1换成 2 的电阻，其它条件不变，再求 A、B 两端的等效电阻 RAB 。【模型分析】此时的电桥已经不再“平衡” ，故不能采取等势缩点法简化电路。这里可以将电路的左边或右边看
5、成型电路，然后进行 Y 型变换，具体操作如图 8-8 所示。根据前面介绍的定式，有智浪教育-普惠英才文库Ra = = = 531R103252Rb = = = 531 4Rc = = = 25311032再求 RAB就容易了。【答案】R AB = 。145683、电流注入法【物理情形】对图 8-9 所示无限网络，求 A、B 两点间的电阻 RAB 。【模型分析】显然，等势缩点和Y 型变换均不适用这种网络的计算。这里介绍“电流注入法”的应用。应用电流注入法的依据是：对于任何一个等效电阻 R，欧姆定律都是适用的，而且，对于每一段导体，欧姆定律也是适用的。现在，当我们将无穷远接地，A 点接电源正极，从
6、 A 点注入电流 I 时，AB 小段导体的电流必为 I/3 ；当我们将无穷远接地，B 点接电源负极，从B 点抽出电流 I 时，AB 小段导体的电流必为 I/3 ；那么，当上面“注入”和“抽出”的过程同时进行时，AB 小段导体的电流必为 2I/3 。最后，分别对导体和整个网络应用欧姆定律，即不难求出 RAB 。【答案】R AB = R 。32相关介绍事实上，电流注入法是一个解复杂电路的基本工具，而不是仅仅可以适用于无限网络。下面介绍用电流注入法解图 8-8 中桥式电路（不平衡）的 RAB 。从 A 端注入电流 I ，并设流过 R1和 R2的电流分别为 I1和 I2 ，则根据基尔霍夫第一定律，其它
7、三个电阻的电流可以表示为如图 8-10智浪教育-普惠英才文库所示。然后对左边回路用基尔霍夫第二定律，有I1R1 + (I1 I2)R5 (I I1)R3 = 0即 2I 1 + 10(I1 I2) 3(I I1) = 0整理后得 15I 1 10I2 = 3I 对左边回路用基尔霍夫第二定律，有I2R2 (I I2)R4 (I1 I2)R5 = 0即 4I 2 12(I I2) 10(I1 I2) = 0整理后得 5I 1 + 13I2 = 6I 解两式，得 I 1 = I ，I 2 = I4599很显然 U A I1R1 I2R2 = UB 即 U AB = 2 I + 4 I = I4599
8、14568最后对整块电路用欧姆定律，有 R AB = = 。IAB145684、添加等效法【物理情形】在图 8-11 甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ，试求A、B 两点间的电阻 RAB 。【模型分析】解这类问题，我们要用到一种数学思想，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。在此模型中，我们可以将“并联一个 R 再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图 8-11 乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即RABR + R = R AB 解这个方程就得出了 RAB的值。【答案】R AB = R 。251学员思考本题是否可以用“电流注入法
9、”求解？解说可以，在 A 端注入电流 I 后，设第一级的并联电阻分流为 I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图 8-12 所示对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有智浪教育-普惠英才文库(I I1)R + (I I1) R I1R = 0解得 I 1 = I25很显然 U A IR I1R = UB 即 U AB = IR + IR = IR25最后，R AB = = R 。IAB【综合应用】在图 8-13 甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为 R ，试求 A、B 两点间的等效电阻 RAB 。【解说】当 A、B 两端接入电源时，根据“对称等
10、势”的思想可知，C、D、E各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将 CD 间的导体、 DE 间的导体取走后，电路可以等效为图 8-13 乙所示的二维无限网络。对于这个二维无限网络，不难求出 R= R321显然，R AB = R R3R2【答案】R AB = R 。1二、含源电路的简化和计算1、戴维南定理的应用【物理情形】在如图 8-14 甲所示电路中，电源 = 1.4V，内阻不计，R 1 = R4 = 2，R 2 = R3 = R5 = 1，试用戴维南定理解流过电阻 R5的电流。智浪教育-普惠英才文库【模型分析】用戴维南定理的目的是
11、将电源系统或与电源相关联的部分电路等效为一个电源，然后方便直接应用闭合电路欧姆定律。此电路中的电源只有一个，我们可以援用后一种思路，将除 R5之外的电阻均看成 “与电源相关联的”部分，于是将电路做“拓扑”变换，成图 8-14 乙图。这时候，P、Q 两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为 ，内阻为 r，则r= R 1R 2 + R3R 4 = 为 P、Q 开路时的电压。开路时，R 1的电流 I1和 R3的电流 I3相等，I 1 = I3 = = A ，令“老电源” 的负极接地，则 UP = I1R2 )()4321中 2157= V ，U Q = I3R4 = V ，所以 = U QP
12、= V575157最后电路演化成图 8-14 丙时，R 5的电流就好求了。【答案】R 5上电流大小为 0.20A，方向（在甲图中）向上。2、基尔霍夫定律的应用基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应用。但是在比较复杂的电路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个？这里需要补充一个法则，那就是基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。而且，独立回路的个数 m 应该这样计算m = p n + 1其中 p 为支路数目（不同电流值的数目） ，n 为节点个数。譬如，在图 8-15所示的三个电路中，m 应该这样计算甲
13、图，p = 3 ，n = 2 ，m = 3 2 + 1 = 2乙图，p = 6 ，n = 4 ，m = 6 4 + 1 = 3丙图，p = 8 ，n = 5 ，m = 8 5 + 1 = 4以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。思考启发：学员观察上面三个电路中 m 的结论和电路的外部特征，能得到什么结果？学员：m 事实上就是“不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上添加一智浪教育-普惠英才文库支路验证）【物理情形 1】在图 8-16 所示的电路中， 1 = 32V， 2 = 24V，两电源的内阻均不计，R 1 = 5，R 2 = 6，R 3 = 54，求各支路的电流。【模型分
14、析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n 1 = 2 ，第二方程的个数为 p n + 1 = 2由第一定律，有 I 3 = I1 + I2由第二定律，左回路有 1 2 = I1R1 I2R2左回路有 2 = I2R2 + I3R3代入数字后，从这三个方程不难解出I1 = 1.0A ，I 2 = 0.5A ，I 3 = 0.5A这里 I2的负号表明实际电流方向和假定方向相反。【答案】R 1的电流大小为 1.0A，方向向上，R 2的电流大小为 0.5A，方向向下，R 3的电流大小为 0.5A，方向向下。【物理情形 2】用基尔霍夫定律解图 8-14 甲所示电路中 R5的电流（所有
15、已知条件不变） 。【模型分析】此电路 p = 6 ，n = 4 ，故基尔霍夫第一定律方程个数为 3 ，第二定律方程个数为 3 。为了方便，将独立回路编号为、和 ，电流只设了三个未知量 I1 、I 2和 I3 ，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，见图 8-17 。这样，我们只要解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了。对回路，有 I 2R1 + I1R5 I3R3 = 0即 2I2 + 1I1 1I3 = 0 对回路，有 (I 2 I1)R2 (I1 + I3)R4 I1R5 = 0即 1(I 2 I1) 2(I1 + I3) 1I1 = 0 对回路，有 = I 3R3 + (I1 + I
16、3)R4即 1.4 = 1I 3 + 2(I1 + I3) 解式不难得出 I 1 = 0.2A 。 （I 2 = 0.4A ，I 3 = 0.6A）【答案】略。【物理情形 3】求解图 8-18 所示电路中流过 30 电阻的电流。【模型分析】基尔霍夫第一定律方程 2 个，已在图中体现基尔霍夫第二定律方程 3 个，分别为对回路，有 100 = (I 2 I1) + I210 对回路，有 40 = I 210 + I130 I310 对回路，有 100 = I 310 + (I1 + I3) 10 解式不难得出 I 1 = 1.0A 。 （I 2 = 5.5A ，I 3 = 4.5A）【答案】大小为
17、 1.0A，方向向左。小结解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。但是，当我们面临的只是求某一智浪教育-普惠英才文库条支路的电流，则用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增多，解题的麻烦程度随之增大。三、液体导电及其它【物理情形】已知法拉第恒量 F = 9.65104C/mol ，金的摩尔质量为 0.1972kg/mol ，金的化合价为 3 ，要想在电解池中析出 1g 金，需要通过多少电量？金是在电解池的正极板还是在负极板析出？【
18、解说】法拉第电解定律（综合形式）的按部就班应用，即 Q = ，MmFn代入相关数据（其中 m = 1.0103kg ，n = 3）即可。【答案】需要 1.47103C 电量，金在负极板析出。【相关应用】在图 8-19 所示的装置中，如果在 120分钟内淀积 3.01022个银原子，银的化合价为 1 。在电流表中显示的示数是多少？若将阿弗伽德罗常数视为已知量，试求法拉第恒量。【解说】第一问根据电流定义即可求得；第二问 F = = mnQMM102.63.3192【答案】0.667A；9.6310 4C/mol 。四、问题补遗欧姆表图 8-20 展示了欧姆表的基本原理图（未包括换档电路） ，虚线方
19、框内是欧姆表的内部结构，它包含表头 G、直流电源 （常用干电池）及电阻 R 。当被测电阻 Rx接入电路时，表头 G 电流I = xgr可以看出，对给定的欧姆表，I 与 Rx有一一对应的关系，所以由表头指针的位置可以知道 Rx的大小。为了读数方便，事先在刻度盘上直接标出欧姆值。考查 I（R x）函数，不难得出欧姆表的刻度特点有三：大值在左边、小值在右边；不均匀，小值区域稀疏、大值区域密集；没有明确的量程，最右边为零，最左边为 。欧姆表虽然没有明确的量程，并不以为着测量任何电阻都是准确的，因为大值区域的刻度线太密，难以读出准确读数。这里就有一个档位选择问题。欧姆表上备有“1” 、 “10”、 “1
20、00”、 “1k”不同档位，它们的意义是：表盘的读数乘以这个倍数就是最后的测量结果。比如，一个待测电阻阻值越智浪教育-普惠英才文库20k，选择“10”档，指针将指在 2k 附近（密集区） ，不准，选择“1k”档，指针将指在 20 附近（稀疏区） ，读数就准确了。不同的档位是因为欧姆表的中值电阻可以选择造成的。当 Rx =（R g + r + R ）时，表头电流 I = Ig ，指针指在表盘的几何中心，故称此时的 Rx21即（R g + r + R ）为中值电阻，它就是表盘正中刻度的那个数字乘以档位倍数。很显然，对于一个给定的欧姆档，中值电阻（简称 R 中 ）应该是固定不变的。由于欧姆表必须保证
21、 Rx = 0 时，指针指到最右边（0 刻度） ，即= IgRrg这个式子当中，只有 Rg和 Ig是一成不变的， 、r 均会随着电池的用旧而改变（、r） ，为了保证方程继续成立，有必要调整 R 的值，这就是欧姆表在使用时的一个必不可少的步骤：欧姆调零，即将两表笔短接，观察指针指到最右边（0 刻度）即可。所以，在使用欧姆表时，选档和调零是必不可少的步骤，而且换档后，必须重新调零。【相关问题 1】当欧姆表的电池用旧了之后，在操作规范的前提下，它的测值会 （填“偏大” 、 “偏小”或“继续准确” ） 。【解说】这里的操作规范是指档位选择合适、已正确调零。电池用旧后，、r，但调零时，务必要使 R ，但 Rg + r + R = R 中 = ，故 R 中gI，形成系统误差是必然的。设新电池状态下电源电动势为 、中值电阻为 R 中 ，用旧状态下电源电动势为 、中值电阻为 R 中 ，则针对同一个 Rx ，有新电池状态 I = = = x中 xgIxgI1旧电池状态 I= = = xR中 xgIxgRI两式比较后，不难得出 I I ，而表盘的刻度没有改变，故欧姆示数增大。【答案】偏大。【相关问题 2】用万用表之欧姆档测某二极管极性时，发现指针偏转极小，则与红表笔相连接的应为二极管的 极。【解说】欧姆档指针偏转极小，表明电阻示数很大；欧姆表的红表笔是和内部电源的负极相连的。【答案】正 。
