1、第三届陕西省高校教师微课教学比赛教学设计方案作品标题 自然常数 e 的“前世今生 ” 所属课程 高等数学相关知识点 重要极限 en)1(lim学科专业理工科数学（公共基础课）授课对象 理工专业本科生 授课时长 10:48参考文献高等数学(第六版) 上册，同济大学数学系编，高等教育出版社。微积分及其应用 （原书第八版）M.L.Bittinger 著，杨奇、毛云英译，机械工业出版社。教学背景：高等数学是以微积分为主要内容，结构严谨，概念抽象，内容深刻，系统性强。这让许多刚进大学数学课堂的学生很难适应。因此我们在教学过程中需要对知识点进行剖析，将涉及基本概念，重要定理、公式和方法的内容进行深入分析，
2、对相应的课堂教学进行重点设计，从而实现传授数学知识、培养数学思维、传播数学思想、了解数学文化“四位一体”的高等数学教学。e 是高等数学中最重要的常数，它是怎么来的？为什么以 e 为底的指数函数导数等于它本身？这两个问题是高中已经接触微积分初步知识的大一学生会产生的疑问。由于通用教材并未针对第一个问题展开说明，也没有给出这个极限的模型背景。本课的教学设计可以给出第一个问题的解答，也为第二个问题的回答提供了理论依据。教学思路：本课教学设计首先从问题入手，开门见山的给出重要极限。接下来联系现实经济中的复利计算，从实际背景诱导出这个极限的离散形式。一方面说明数学是从现实世界抽象出来的反映最本质规律的学
3、科，另一方面也体现数学在解决实际问题中发挥的重要作用。并且通过细胞分裂的例子说明这个极限的重要性，同时也揭示的 e 被称为自然常数的原因。最后对重要极限进行小结。本课教学设计弥补了通用教材的不足，展示了数学思想的独特魅力，可以激发学生的兴趣和求知欲，培养和建立学生的探究精神，引导学生发现数学之美。教学目标：知识目标（1） 了解 e 的来源， ；en)1(lim（2） 理解并掌握重要极限 ， ，并为后续内容建立知识储备。xli ex10)(li能力目标：（1） 理解并掌握重要极限，学会使用该极限解决极限计算问题；（2） 进一步加深对极限思想的认识，对极限概念和相关性质的理解 。情感目标：（1）
4、培养学生分析问题、发现规律的能力，要透过现象看本质，学会理性思考；（2） 激发学生学习热情，培养和建立学生的探究精神，引导学生发现数学之美。教学重点：e 的来源，重要极限 。en)1(lim教学难点：重要极限的模型背景。教学方法： 启发讲授法、自主探究法、合作讨论法教学过程及设计：1. 问题导入开门见山的提出问题：“e 是怎么产生的？” ，引出重要极限。分析表达式背后的含义。通过对中国金融业改革过程中的新兴事物余额宝的介绍，指出余额宝的特点和创新之处“每天结，钱生钱” ，提出复利计算问题。引例 投资额 1 万元，年利率 100%，计算不同结息方式下一年后的收入？分析不同结息周期下（分别以一年定
5、期，每半年计复利，每季度计复利，每月计复利，每天计复利分析）的收入，最终引出“结息周期不断缩小，结息次数不断增大”时的极限情况的数学模型 )?()1n（【设计意图】这一过程可以抓住学生的注意力，激发学生探究的兴趣，引导学生通过现象看本质，从有限到无穷，渗透极限这一核心思想。实际课堂教学以学生为主体，让学生积极参与问题讨论。2. 模型分析(i) 数值分析；(ii) 图像分析；(iii) 特点总结。【设计意图】通过图表、图形的方式展示数列的变化过程，让学生从直观上感受变化趋势，加深对数学模型的认识，最后引导学生总结得到这个数列的变化特点单调递增、有上界，为后面说明极限存在做铺垫。3. 极限的存在性
6、分析 (i) 单调有界准则；(ii) 利用该准则分析 存在。nn)1(lim【设计意图】利用单调有界准则和前面 2.(iii) 特点总结确定 存在，是一常数。nn)1(li4. 主要内容-重要极限 （1 ）en)1(li(i) （1）式给出了 e 的定义，用于刻画当 时 所逼近的常数；n)1（(ii) 解释 e 的名称和记号来源，介绍相关历史人物欧拉及欧拉公式。(iii) 通过细胞分裂的例子说明这个极限的重要性，同时也揭示的 e 被称为自然常数的原因。(iv) 指出 e 是自然增长的极限，解释 Google 上市融资额的玄机。【设计意图】首先，通过重要极限（1）式指出自然常数 e 的来源，对
7、e 的名称和记号来源作介绍，简介欧拉和欧拉公式。与学生互动，让他们说出数学中他们认为重要的一些常数。欧拉公式把数学中最重要的五个常数用最基本的运算统一到一个等式，一个非常完美的公式，反映数学之美。然后用细胞分裂的例子说明自然界许多事物的变化规律的共性和 e 有关，同时揭示e 被称为自然常数的原因。最后 指出 e 是自然增长的极限，在社会科学和经济学中也有应用，并解释 Google 上市融资额的玄机，让学生感受数学的魅力。5. 小结 (i) 将离散形式（1）推广到连续形式（2）exx)1(lim利用变量代换，得到公式（2）的等价形式（3）ex10)(li(ii) 重要极限的推广设 是自变量某变化
8、过程中的无穷小，则自变量在同一变化过程中e1)(lim【设计意图】汇总小结，针对公式（1） 、 （2） 、 （3） ，分析的其特点，给出重要极限更一般的形式，有助于学生更方便的解决问题。6. 思考（利用重要极限求解）投资额 a 万元，年利率 r（将引例中的年利率 100%改为一般的 r） ，按永续复利计一年后收入最多是多少万元？【设计意图】在结束课堂教学之前留给学生关于复利计算的实际问题，让学生自主思考，自由探讨，做到首尾呼应。教学总结和反思：在整个教学活动中，强调以学生为主体，教师主导的原则，体现了“四位一体”的教学思路。开门见山的引入问题，通过问题给出核心内容，并导入日常经济生活中的理财产品“余额宝” ，探讨它的创新点所涉及的数学模型。引导学生分析问题，探讨问题，运用 PPT 动画展示不同结息周期下收入的变化。通过结息次数从有限到无穷的变化自然引入重要极限。精心设计的这一环节可以吸引学生的注意，激发学生探究的兴趣，引导学生通过现象看本质，渗透极限思想。高等数学 （上册）从体系的逻辑性看是基本完备的，内容的编排是比较严密的，但是由于基本概念特别是极限的定义是非常抽象的，这样的安排是不符合一般理工科大一学生认知规律和特点，学生容易产生困惑。如何结合实际应用背景合理讲授这些知识内容，让学生容易接受，同时不失系统性，是需要我们进一步反思和探索的。
