1、第二十一讲 应用问题的解题技巧应用问题是中学数学的重要内容它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义下面举出几个例题，略述一下解应用问题的技能和技巧1直接设未知元在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法例1 某
2、校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是21求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数分析 本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x，那么参赛人数便是3x于是全年级共有(x+3x) 人由已知，全年级人数减少6人，即(x+3x)-6， 而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为(x+6)+2(x+6)由，自然可列出方程解 设未参加的学生有x人，则根据分析，两式应该相等，所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)
3、-6，所以x+6+2x+12=4x-6，所以 3x+18=4x-6，所以 x=24(人)所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有324=72(人)全年级有学生424=96(人)说明 本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为例2 一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做做多少个零件？定期是多少天？分析 若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，显然，将此两式联立，解出x，y即可解 设工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做x/y个，依分析有方程组整理得2+ 得将x=50y 代入 得y=27， x=50
4、y=1350，答 工人要做1350个零件，定期为27天例3 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解 设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人由于m2，n32，依题意有22m+1=n(m-1)所以因为n为自然数，所以23/m-1为整数，因此m-1=1，或m- 1=23，即 m=2或m=24.当 m=2时， n=45(不合题意，舍去)；当m=24时，n=23(符合题意)所以旅客人数为：n(m-1)=23
5、(24-1)=529(人)答 起初有汽车24辆，有乘客529人注意 解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论2间接设元如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法例4 若进货价降低8，而售出价不变，那么利润可由目前的p增加到(p+10)，求p分析 本题若直接设未知元为x，则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x由于售出价不变，它可用以下方程式表示：x(1+p)=0.92x1+(10+p)解 设原进货价为x，则下降8后的进货价为0.92x根据题意售货
6、价不变，故有以下方程x(1+0.01p)=0.92x1+0.01(p+10)，约去x得1+0.01p=0.921+0.01(p+10) ，所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1，即 0.0008p=0.012，所以 p=15答 原利润为15例5 甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，它们分别从直径AB 两端同时相向起跑第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长分析与解 如图176，设圆形跑道总长为2S，又设甲乙的速度分别为V，V，再设第一次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况：(1)甲乙第二次相
7、遇在B 点下方D处，此时有方程组化简得由，得解此方程得S=0(舍去) ，S=240 所以2S=480米经检验是方程的解(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D处，则有方程组解此方程组得S=0(舍去) ，S=360 所以2S=720米经检验也是方程的解这样，两人可能在D点处相遇，也可能在D点处相遇，故圆形跑道总长为480米或720米3设辅助元有时为了解题方便，可设某些量为辅助量，参与列方程和运算，最后把这些辅助量约去，得出要求的值例6 从两个重量分别为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者含铜百分数相等，问切下的重量是多少千
8、克？分析与解 设切下的重量是x千克，并设重m千克的铜合金中含铜的百分数为q 1，重n千克的铜合金中含铜的百分数为q 2，则切下的两块中分别含铜xq 1和xq2，而混合熔炼后所得两块合金中分别含铜xq1+(n -x)q2和xq 2+(m-x)q1故依题意有方程解此方程得答 切下的重量为mn/m+n( 千克) 例7 甲乙两邮递员分别从A，B两地同时以匀速相向而行，甲比乙多走了18千米(km)，相遇后甲走 4.5小时到达B 地，乙走8小时到A地，求A，B两地的距离解 设甲速为a 千米/ 小时，乙速为b千米/小时，A，B两地的距离为2S ，依题意有所以所以 S-9/S+9=3/4，所以 S=63(千米
9、) ， 2S=126(千米)答 A，B两地相距126千米练习二十一1已知甲、乙、丙三人甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍，乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍？2有甲乙两容量均为20升(L)的容器，甲容器内装满纯酒精，而乙为空容器自甲内倒出若干酒精于乙内，再将乙其余部分注满水，将此混合溶液注满甲容器，最后自甲容器回注入乙容器62/3升，则两容器内所含纯酒精量相等，问第一次自甲容器倒出多少酒精？3某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时15千米的速度走平路到B地，共用了55分钟回来时他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用了11/2小时，求地面上A，B两地相距多少千米？4有一块长方形的场地，长比宽多4米，周围有一条宽2米的道路环绕着，已知道路的面积和这块土地的面积相等求这块场地的周长是多少米？5一个四位数是奇数，它的千位数字小于其他各位数字，十位数字等于千位数字和个位数字之和的 2 倍，求这个四位数
