1、概念化课堂教学实录二许 钦 彪函数的单调性（人教版数学必修一，第一章 1.3.1）1.课堂主要教学过程教师给出问题情景：请同学们观察下面两个函数的图像，分别指出这两个函数在相关区间内从左到右的变化情况。一般学生都正确地指出了第一个函数在区间 和 上是上升的，在2,1,上是下降的。第二个函数在区间 和 上是下降的，在 和1,4,02,0上是上升的。24进一步认识到图像从左到右的上升或下降有几个相关因素： 与区间有关，即上升或下降是就某个区间而言的； 区间内的图像必须存在，即函数有意义或者说在定义域内讨论；某个区间内上升，就是对这个区间内的任意左右二点，图像一定是左低右高，下降则一定是左高右低；不
2、同的两个区间没有可比性，如第一个函数在 和 内都是上升的，但图2,1,像高低变化没有可比性；教师提出问题要求：请大家把某区间上图像的上升或下降，与该区间上函数值的大小变化联系起来，并描述这种变化。学生由图形到函数值都能认识到：图像从左到右上升，对应函数值随 的增大而增大；x图像下降，函数值随 的增大而减小。x教师进一步要求：请大家结合函数图像在区间上的变化，将函数在定义域相关区间内的增大、减小这种变化特征，用数学语言归纳为函数的性质。有了以上的基础准备，一般的学生都能自主地描述归纳出函数的这一性质。师生共同整理统一：函数的这一性质称为函数的单调性，具体地说：如果对于函数定义域 内某个区间 上的
3、任意两个自变量 ， ，当 时，都ID1x212x有 ，就称函数 在区间 上是增函数。如果当 时，都有12()fxf()fx图 1 图 2，就称函数 在区间 上是减函数。12()fxf()fxD教师结合图像，强调“定义域内、区间、任意、都有”等关键因素。进一步问：根据以上增减性的定义，是否所有函数都可以将定义域划分成若干个相应区间，使函数在每个区间上都有增减性？并举例说明。学生思考探索后，师生共同认识下面的几种函数例子：如某个区间上为常数的函数（如图 3） 。如定义域不是区间的函数。也可以回顾教材 P22 图 1.2-5，p23 题 2 图 D 等给予形象的说明。2. 点评：这样的概念化过程，使
4、学生自觉从函数图像的变化形成了增函数和减函数的概念，有利于深刻影响和牢固掌握。同时，在概念化过程中，潜移默化取得了以下教学效果： 注意到了容易忽视的定义域和区间是讨论增减性的前提条件； 体现了函数与图像的相辅相成的密切关系，使学生进一步认识图像的重要性，为利用图像解决函数问题和后续学习函数性质提供了思想方法； 进一步体现了研究数形关系是数学的重要内容和数形结合这一重要的数学思想方法。值得注意的是，概念化教学时给出的问题情景和提出的有关问题必须目标明确，题意清晰，文字语言精确适当。否则，如果题意不明，设问不当，就容易引起歧义，不但使学生难以形成正确的概念，反而会浪费时间纠缠于无关的猜疑中。比如，
5、为了说明不是所有函数都有增减性的问题，许多教师经常采用的是以下简单的设问： 是否所有的函数都有增减性？ 举出没有增减性的函数。这二个设问事实上都是题意模糊而使学生难以回答的。因为增减性是对具体的区间而言的，离开具体的区间，就不能谈增减性。这种设问反而使学生忽视了区间对于函数增减性的前提条件。笔者在听课时，就经常见到当教师这样设问时，学生难以思考回答，尤其是自主学习越好的学生越感到困惑。比如，有学生就反问教师， 是否具有增2yx减性？教师说有。这个学生又举出了教材 p23 练习 2（3）的图 D 代表的函数，问是否有增减性？教师就无法回答了。所以教师设计问题情景时，不能仅以自己的经验习惯或顺理成章的思维，来自以为是的设想学生的思维，要考虑到几十个优秀学生的思维或许比你更丰富缜密和准确。当课堂中遇到不顺从你的设想时，更不能忽视或否认学生们的正确思维，强迫学生顺从你的思想去学习，否则会让学生们产生不信任和厌倦感。图 3
