1、12 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式 2000/7/31一概率的统计定义：频率：随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性 如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录：随机事件1。随机事件及其概率2。古典概型容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近，其中事件发生的次数 频数事件发生的频率 试验总次数 试验总次数 我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率随机事件的概率：（） 定义：在不变的一组条件下，重复作 次
2、试验，记 是 次试验中事件 发生的次nnA数当试验的次数 很大时，如果频率 稳定在某一数值 的附近摆动，而且一来随着np试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值 为事件 在条件下发生的概率，记作()PAp这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义但必须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。二 古典概型：定义： 如果随机现象满足下列三个条件：(1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：2，12,nA(2) 每一个基本事件 发生的可能性是相等的()i(3) 基本事件 是两两互不相
3、容,i满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型在古典概型中，如果 n 为基本事件总数， m 为事件 A 包含的基本事件数, 那么事件 A 的概率()PA法国数学家拉普拉斯(Laplace)在 1812 年把上式作为概率的一般定义现在通常称它为概率的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合古典概型公式的运用举例：【例 1】 袋里有 2 个白球和 3 个黑球从袋任取出一球，求它是白球的概率解 ： 容易看出， “从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且基本事件总数 n5，取到白球的基本事件数 m2，故把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题这种模型化的方法把表
4、面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。【例 2】把 a, b 两个球随机地放到编号为 I, , 的三只盒子里，求盒子 I 中没有球的概率。解：这是一个古典概型问题，把 a, b 两个球随机地放到编号为 I, , 的三只盒子里，基本事件总数239n设“盒子 I 中没有球” ，则事件 A 包含的基本事件数24m ()9P【例 3】有一个口袋，内装 a 只白球，b 只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出 2 个球时，求：（）模出 2 个球都是白球的概率；（）模出一个白球一个黑球的概率解: 这口袋共有 a+b 只球，从袋了中任
5、意模出 2 个球的基本事件总数，2abnC3（） 模出 2 个球都是白球基本事件数 ， 21amC 模出 2 个球都是白球的概率 ；2abPn（） 模出一个白球一个黑球的基本事件数 ，12 模出一个白球一个黑球的概率 2abmnC若把黑球作为废品，白球作为好品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样按如产品分为更多等级，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述【例 3】 列 4【例 4】1无放回抽样：2有放回抽样：5， 【例 5】 有一个口袋内装可分辨 4 个黑球，6 个白球, 它们除颜色不同外，外形完全一样. 现按两种取法；（）无放回；（）有放回连续从袋
6、中取出个球，分别求下面事件的概率：（） “取出个球都是白的” ；A（） “取出个黑球，个白球” B解：（）无放回：连续从袋中取出个球的基本事件总数，310nA（）取出个球都是白的基本事件数 ，316mA ；361054() 0.798mPnA（）取出个黑球，个白球，注意到取出黑球的次序， 事件 的基本事件数 ，B2146CA因而 214630().mPn（）有放回： 连续从袋中取出个球的基本事件总数，310（） 取出个球都是白的基本事件数 ，316m ；316()0.2PAn（） 取出个黑球，个白球，注意到黑球黑球的次序， 事件 的基本事件数 ，B2146mC因而 21463()0.8Pn6【
7、例】设有 k 个球，每个球都能以同样的概率落到 N 个格子(N k)的每个格子中，试求：下列事件的概率(1) A=”某指定的 k 个格子中各有一个球”；(1) B=”任何 k 个格子中各有一个球 ”；(3) C=“k 个球落到同一个格子中”.解: 这是一个古典概型问题，由于每个球可落入 N 个格子中的任一个，所以 n 个球在 N 个格子基本事件总数 knN(1) k 个球在那指定的 k 个格子中全排列，总数为 n!，因而所求概率（2）n 个格子可以任意，即可以从 N 个格子中任意选出 n 个来，这种选法共有 nC又对于每种选定的 n 个格子，共有 n! 排列，因而所求概率 2!()NPn【例】
8、【例】三。概率的性质： 0()1PA ()7四概率加法公式： 概率加法公式：（）如果事件 A， B 是互不相容，则 P（A+B）=P（A ）+P（B） ，特别地， ；()()()1PA1（）特别地， （1）如果 A 与 B 是两个互斤事件，则，（2）(3) 若 B A ，则 P（AB） P（A ） P（B ） 2 逆事件概率：【例 7】在浴池的鞋柜中乱放着 10 双号码不同的托鞋今随意取来三只，求有一双配对的概率解法 I： 设 10 双鞋的号码为 t 号至 10 号鞋我们有下列事件等式，“三只鞋中有一双配对”“三只中 1 号鞋配对” +“三只中 2 号鞋配对”+ +“三支中 10 号鞋配对” 8相应地可设事件为把 1 号鞋看成废品，其他鞋看成合格品，由超几何分布的概率公式，有解法 1 的特点是把较复杂的事件分解成较简单的事件和【例 8】9【例 9】一个著名问题匹配问题： 张卡门分别标着 1，2，3，4，面朝下放在桌子上 一个自称有透视能力的人将用他超感觉能力说出卡片上的号数，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中个的概率是多少？对于这个小数日(n4)的具体问题，可以通过把 “至少猜中一个”进行分析而获得解答这里仅给出分析结果： 【例 10】【例】10解； （） ，AB七习题：1.
