1、第 64 炼 利用空间向量解立体几何问题一、基础知识(一)刻画直线与平面方向的向量1、直线:用直线的方向向量刻画直线的方向问题,而方向向量可由直线上的两个点来确定例如: ,则直线 的方向向量为 2,463,02ABAB1,4AB2、平面:用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度,何为法向量?与平面 垂直的直线称为平面 的法线,法线的方向向量就是平面 的法向量,如何求出指定平面的法向量呢?(1)所需条件:平面上的两条不平行的直线(2)求法:(先设再求)设平面 的法向量为 ,若平面上所选两条直线的方,nxyz向向量分别为 ,则可列出方程组:12,axyzbxyz解出 的比值即可1220xyz,例如: ,
2、求 所在平面的法向量,13ab,ab解:设 ,则有 ,解得: ,nxyz20xyz2xyz:2:1,1n(二)空间向量可解决的立体几何问题(用 表示直线 的方向向量,用 表示平,ab,mn面 的法向量),1、判定类(1)线面平行: ab (2)线面垂直: (3)面面平行: mn (4)面面垂直:2、计算类:(1)两直线所成角: cos,ab(2)线面角: cs,inma(3)二面角: 或 (视平面角与os,ncos,mn法向量夹角关系而定)(4)点到平面距离:设 为平面 外一点, 为平面 上任意一点,则 到平面 的距APA离为 ,即 在法向量 上投影的绝对值。APndn(三)点的存在性问题:在
3、立体几何解答题中,最后一问往往涉及点的存在性问题,即是否在某条线上存在一点,使之满足某个条件,本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念:先设再求先设出所求点的坐标 ,再想办法利用条件求出坐标,xyz2、解题关键:减少变量数量 可表示空间中的任一点,但题目中所求点往往是,z确定在某条线或者某个平面上的,所以使用三个变量比较“浪费” (变量多,条件少,无法求解) ,要考虑减少变量的个数,最终所使用变量的个数可根据如下条件判断:(1)直线(一维)上的点:用一个变量就可以表示出所求点的坐标(2)平面(二维)上的点:用两个变量可以表示所求点坐标规律:维度=所用变量个数3、如何减少变量:(
4、1)直线上的点(重点):平面向量共线定理若 使得 ,abR ab例:已知 ,那么直线 上的某点 坐标可用一个变量表示,,340,21APAP,Mxyz方法如下: 三点中取两点构成两个向量34,1,3Mxyz因为 在 上,所以 共线定理的应用(关键),即 仅用一个变量 表示113344xxyyzz1,34M(2)平面上的点:平面向量基本定理若 不共线,则平面上任意一个向量 ,均存,ab c在 ,使得: ,Rcab例:已知 ,则平面 上的某点 坐标可用两1,340,21,40APQAPQ,Mxyz个变量表示,方法如下: ,3,1,32,1MxyzP故 ,即 24343xyzz二、典型例题例 1:(
5、2010 天津)在长方体 中, 分别是棱 上的点,1ABCD,EF1,BC,2CFABE1:24(1)求异面直线 所成角的余弦值1,F(2)证明: 平面AD(3)求二面角 正弦值1E解:由长方体 得: 两两垂直1BC1,ABD以 为轴建立空间直角坐标系1,AD(1) 13,0,20,4,20EF1,A11 3cos, 5204EFD3s5B1 C1B CDAD1A1EF(2) ,设平面 的法向量为 1,2AF1AED,nxyz10,4,0D2:1:20yzxyzx 1,2n平面AFn 1AED(3)设平面 的法向量 ,mxyz1,0,12DE:20xyxzz 1,2m1,2n4cos,63nm
6、5si3例 2:如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 ,PABCDABPABCD, ,若 分别为棱 上的点, 为 中点,且4PAD2MN,COCO(1)求证:平面 平面 (2)求直线 与平面 所成角的正弦值AC(3)求点 到平面 的距离N解: 平面PBD,A矩形 CA故 两两垂直,以 为轴建立空间直角坐标系PABDOA DB CPMN0,42,0,40,1,20PBCDO,且 分别为 的中线ACOMNAMCN,P设点 ,因为 三点共线xyz,而 PD4,0,4xyzPD0,44z而,M0AMPD1164020,2同理,设点 ,因为 三点共线,Nxyz,PNC而 PC42,4z2,4D4xy
7、z而,N0ANPC4+1640982,9(1)设平面 的法向量为 ABM1,nxyz2,0,2ABM1200,xyz设平面 的法向量为 PCD2,nxyz2,4,2,0PCD2240,1xyzOA DB CPMN120n12n平面 平面ABMPCD(2)设平面 的法向量为 ,nxyz,40,2C,12xynz而 ,0D设直线 与平面 所成角为 ,则CAM46sinco, 32Dn(3) 8120199676NACMdn 平 面例 3:已知在四棱锥 中,底面 是矩形,且 平面 PBDABC2,1,ADBPA, 分别是线段 的中点BD,EF,(1 )求证: (2 )在线段 上是否存在点 ,使得 平
8、面AGE,若存在,确定点 的位置;若不存在,请说明P理由(3 )若 与平面 所成的角为 ,求二面角BCD45的余弦值AF解:因为 平面 ,且四边形 是矩形PAABCD以 为轴建立空间直角坐标系,设 , Ph10,1,0,21,0,02hBDFE(1 ) ,PFPD FEA DB CP(2 )设 0,Ga1,02Ea设平面 的法向量为 PFD,nxyz1,1,0PFhD02hxyzhz,2平面 EG PFDEGn解得 102nha14h存在点 ,为 的四等分点(靠近 )AA(3 ) 底面 在底面 的投影为 PBCPBCDA为 与平面 所成的角,即D45为等腰直角三角形 即 A1Ah平面 的法向量
9、为PF1,2n平面 为 平面,所以平面 的法向量为 yOzP0,m设二面角 的平面角为 ,可知 为锐角AD16cos,mn例 4:四棱锥 中,平面 平面 ,PBCPABCD是 中点,90,3,AD 1,2,3,AOB(1 )求证: 平面O(2 )求二面角 的平面角的余弦值(3 )在侧棱 上是否存在点 ,使得 平面PCMB,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由OD解:过 在平面 作 的垂线交 于ABCDQ为 中点 ,P O A DB CP平面 平面PABCD平面O,QAB以 为轴建立空间直角坐标系,P2O0,10,01,30BACD(1 ) 设平面 的法向量为2CDPOnxyz,P00Onz
10、xy1,0n平面CDPOC(2 )设平面 的法向量为 1,nxyz1,2,20P10CnxyzD 12,n设平面 的法向量为PO2,n0,2,1302nzxyD23,10n1214cos,5n所以二面角 的平面角的余弦值为CPO45(3 )设 ,MxyzCP1,1,2CMxyzCP,2z而平面 的法向量为,12BPDO23,10n平面 MPOD203BMn44C例 5:已知四棱锥 中, 平面 ,底面 是边长为 的菱形,APABCDa,120BAPb(1)求证:平面 平面 D(2)设 与 交于点 , 为 中点,若二面角COM的正切值是 ,求 的值OM26:ab建系思路一:由 与底面垂直,从而以
11、作为 轴,以 为 轴,由 的菱形性质PAPAzBx120可得取 中点 ,连结 则有 ,从而建立空间直角坐CDTTB标系解:取 中点 ,连结 ,可得 CD平面 ABPA以 为轴建立空间直角坐标系 ,T可得: 1313,0,0,0,22aCaaPb(1)设平面 的法向量为 PBD,mxyz 3,02BDa0332baxbzyza,3ba设平面 的法向量为 PAC,nxy130,02APCaTABDCOA DCPM3011302xzyaxz3,10n平面 平面0mnPBDAC(2) 133,048OaMa设平面 的法向量为 P1,nxyz1313,048OPabOMa133048axybzy 13,0n设平面 的法向量为PMD2,nxyz 73,028PDabMDa13302778baxybzya 23,7n设二面角 的平面角为 ,则 ,可得 OPMDt61cos512241cos, 557bna210570ba24869a4:3b建系思路二:由思路一可发现尽管建系思路简单,但是所涉及的点的坐标过于复杂,而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点,建立坐标简单的坐标系,从而简化运算:利用菱形对角线垂直的特点,以 为坐标原点。过 作O的平行线,即可垂直底面,从而所建立的坐PA标系使得底面上的点均在轴上;另一方面,可考OA DB CPM