矩阵与伴随矩阵的关系(共4页).doc

方阵与其伴随矩阵的关系 摘 要 本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,讨论了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系，并且给出了相应的证明过程.关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。1伴随矩阵的定义.设阶方阵.令,其中是的代数余子式.则称为的伴随矩阵.2矩阵与其伴随矩阵的关系及其证明.2.1=.当可逆时,有,即1.证明：因为所以=.当是可逆矩阵时, ,所以由上式得=即 .证毕.2.2 =.(显然)2.3 若可逆，则=.(显然)2.4 设为阶方阵，则2.引理1.若矩阵,满足,则.证明 因为,所以的列向量是以为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若,则.由克拉默法则知,方程只有零解,从而,进而;若,则方程组的基础解系中含个向量,于是,因此有.证毕.下面证明2.4.当时, 的每一个阶代数余子式都为零.所以为零阵,所以.当时，,=.由引理1知,+.因为