1、智浪教育-普惠英才文库0初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类甲内容提要1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模 m 的余数分类。分别表示如下：整数 整数 整数 整数不零正 整 数 奇 数偶 数 231余除 以 余除 以 整 除能 被 3421余除 以 余除 以 余除 以 整 除能 被3.
2、 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如 正整数按下列分类是正确的正整数 正整数1合 数 正 偶 数正 奇 数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类 应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边） ，所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.
3、二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形 平面内两条直线位置等 腰 三 角 形不 等 边 三 角 形 不 相 交相 交智浪教育-普惠英才文库1实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各
4、类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念） 。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:三角形 等腰三角形等边三角形代数式有理式整式单项式智浪教育-普惠英才文库2乙例题 30例 1.把一元一次不等式 axb (a,b 是实数，x 是未知数)的
5、解的集合分类。解：把实数 a,b 按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb 的解集 不baabxba00且例 2.一个等腰三角形的周长是 15cm,底边与腰长的差为 3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为 xcm,则腰长是 cm2-15x当腰比底大时是 x=3 x=3 6 -2-15x当腰比底小时是 x =3 x=7 =4x答（略）例 3.化简 （ 2 2)1()(xyx1解：要使 有意义，必须且只需 x+10，即 x11x（ 2 x+12 x12)()(1x当1x1 时，原式（x1）+x10当 x1 时， 原式x 1x12x2化去分母根式时，要乘以 ，当 x=y 时，不能进行。故
6、y当 x=y 时 yxx智浪教育-普惠英才文库3当 xy 时 yx1xy例 4.设 a,b,c 是三个互不相等的正整数求证：a 3bab 3,b3cbc 3,ca3ca 3 三个数中，至少有一个能被 10 整除（1986 年全国初中数学联赛题）分析：1025，只要证明三个数中，至少有一个含 2 和 5 质因数即可，含 2，可把 a,b,c 分为奇数和偶数两类；含 5，则要按除以 5 的余数分类。解： a 3bab 3=ab(a+b)(a-b) , b3cbc 3=bc(b+c)(b-c), ca3ca 3=ca(c+a)(c-a) 不论 a,b,c 三个数中有 1 个是偶数，或 3 个都是奇数
7、（奇 奇偶），三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数 2； a,b,c 除以 5 的余数只有 0，1，2，3，4 五种。若有 1 个余数是 0，则三个代数式所表示的数中必有 1 个含质数5； 若有 2 个余数相同，则它们的差的个位数字是 0，也含有质因数5；若既没有同余数又没有余数 0，那么在 4 个余数 1，2，3，4 中任取 3 个，必有 2 个的和是 5，即 a+b,b+c,c+a 中有 1 个含质因数 5。综上所述 a 3bab 3,b3cbc 3,ca3ca 3 三个数中，至少有一个能被10 整除。丙练习 301. 把下列概念分类（一种或几种） 实数 有理式 小于平角的角 平面内
8、点与直线位置2. 把一元一次方程 ax=b (a,b 是实数)的解分类。3. 用二分法把下列概念分类（任举一例） 整数 方程 角 直角三角形 四边形 4. 指出下列概念分类的错误平面内两直线的位置关系 有理数垂 直相 交平 行 0负 数正 数智浪教育-普惠英才文库4一元方程 一 元 三 次一 元 二 次一 元 一 次5. 解方程和不等式 4 12x2x2x6. 化简： 1a7. 已知等腰三角形的一个外角等于 150 ，求各内角的度数。8. 已知方程 无解，求 a 的值。02xa（1987 年泉州市初二数学双基赛题）9. 第一组 5 人，第二组 m 人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的 2 倍？ （1987 年泉州市初二数学双基赛题）10. x 取什么值时，x 2 3x 的值是正数？11. 有 n 个整数其积为 n,其和是 0。即 0321nnaa求证：n 是 4 的倍数12. 对任意两个整数 a 和 b.，试证明：a+b,a-b,ab 三个数中至少有 1 个能被 3 整除 13. 关于 x 的方程 ax+2 有根且只有负根，则 a 的取值范围是 _ （1988 年泉州市初二数学双基赛题）14 试证每个大于 6 的自然数 n 都可以表示为两个大于 1 且互质的自然数的 和 提示：按奇数和偶数分类（1995 年全国初中数学联赛题）
