1、一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）(1) 设 是微分方程 的满足 ， 的解，则)(xy xeyxy2)1( 0)(y1)(（ ）20)(limxy（A）等于 0. （B）等于 1. （C）等于 2. （D）不存在.解 ，2000()()1()1lililim(0)2xxxyy将 代入方程，得 ，又 ， ，故0)(y1)(，()y所以 ，选择 B.20lim1x（2）设在全平面上有 ， ，则保证不等式 成立0),(xyf 0),(yxf 12(,)(,)fxyf的条件是（ ）（A） ， . （B） ， .21x21y21
2、x21y（C） ， . （D ） ， .解 关于 单调减少，(,)0(,)ffx关于 单调增加，,fxyfy当 ， 时， ，选择 A.21211212(,)(,)(,)fxfyfx（3）设 在 存在二阶导数，且 ，当 时有 ，)(xf,0x()0fx，则当 时有（ ）0f（A） . （B） .0)(,)(xf 0)(,)(xff（C） . （D ） .f 解 【利用数形结合】为奇函数，当 时， 的图形为递减的凹曲线，当 时， 的图形为)(xf0x)(xf 0x)(xf递减的凸曲线，选择 D.(4) 设函数 连续，且 ，则存在 ，使得（ ）)(xf()f 0（A）在 内单调增加（B ）在 内单调
3、减少(0,)(,0)（C）对任意的 ，有(,)xfx（D）对任意的 ，有0()f解 【利用导数的定义和极限的保号性】 ，0()()lim0xf由极限的的保号性， ，在此邻域内， ，所以对任意的(,)U，有 ，选择 D.(,0)x0fx（5）二次型 的规范型是（ ）.2212313132(,)448xxx（A） . （B ） .fz2fz（C） . （D） .211解 二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵 ，其特征多项式24A，21920(9)4E故 的特征值为 ，正惯性指数 ，负惯性指数 ，选择 D.（6）设A9,01p0q， 是三阶非零矩阵，且 ，则（ ）.12kBABO（A）
4、当 时， . （B）当 时， .1k()r3k()1r（C）当 时， . （D）当 时， .222B解 ， ，()BOr()()()AOrrA.1()3r当 时， ， ，排除 A，C ，k1()2rB当 时， ， ， ，矛盾，2k12031A()3rA1()0rB排除 D，选择 B.（7）设随机变量 与 分别服从 和 ，且 与 不相关， 与XY12N（ ， ） （ ， ） XY1kXY也不相关，则（ ）.2XkY（A） . （B ） .10120k（C） . （D ） .2k解 与 不相关 ，XY(,)CovXY与 不相关1k2k1112 2(,)(,)(,)(,)(,)CovkvkCovXY
5、vkCovY，选择 A.21200kDXY(8) 设 为来自总体 的简单随机样本， 为样本均值， 为12,()n (,1)N2S样本方差，则 （ ）（A） . （B） .(0,)nXN2()nS（C） . （D） .1tS 12(,iiXFn解 ，排除 A，22()()DnXn，排除 B，2211)S，排除 C，选择 D.()/1XnXtS二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）（9）设 ，若 与 都存在，那)(1lim)(2Nnxbxaxf nn 1lim()xf1li()xf么 ， .a_b解 当 时， ，1x2122()limnxabxf当 时
6、， ，232()li1nnfxx存在 ，即 ，1lim()xf11li()li()xxff1ab存在 ，即 ， m解得 .0,ab（10） .2201limcos()xyrxredxy_解 由积分中值定理知，存在 ： ，使得,D22r.2 22 20 011licos()limcos()xyr rxredxyer（11）设 由方程 确定，且 ，则(,)z()fzg(0xfzyg.)_gyfzx解 方程为 ，(,)()0Fxfygzx， ，()xzzf ()yzFgzxfy()gyfzx.()()()()0f xgzzyfzgzy (12) 设 的一个原函数，且 ，则)(xfF是 1)0(Fxf
7、2cos)(,.dxf0|)(|_解 ， ， ，f=2()2cosxfdxd()csFxfdxd，2()sinFxC又 ，故 ， ， ，012()sin1Fx()sin21sicoFxx，|cos2|si|() coi()cxfF40004|sin(sin)(sinco)fdxdxdxd .(21)(2)（13）设矩阵 ，其中 是 维列向量，且 ，则 .TAE,n2T1_A解 22()4()T，16(5TAE故 ，所以 .25)EAE1(6)A（14）设 是来自正态总体 的简单随机样本，129,X X116()6YX， ， ，则统计量 服从278()3Y9227()iiSY2()ZSZ_.解
8、设正态总体 ，2(,)XN， ，12()0EY221163DYY， ， ，又 ， 独立，2(,2(0,)/ 2()S12YS.12122)/(YZtS三、解答题（15-23 题，满分 94 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15） （10 分）设 在 上连续，且满足()fx,0，求 及其极小值. 22 20 1(ln()xtfdtx ()f解 令 ， ，2,utxt 20201()xtfdtfud故 ，220 211()ln()xxfudx再令 ，t0()l(1t tfut即 ，0()ln1tfudt对 求导，得 ，t 22(0)()tfttt故 21()0xf，3()3fx当 时
9、， ，当 时， ，()0f0x()0fx所以 ， 取得极小值 .3xx1(3)8f（16） （10 分）设函数 在 上连续，在 上二阶可导，且()f,ab(,)ab.证明：()0,(),0fafb在 内至少存在一点 ，使得 ；()0f在 内至少存在一点 ，使得 .(,)证 ，()()limlixaxafff 由极限的保号性知，存在 ，当 时， ， ，取0,()0fxa()f，则 ，(,)c()fc在 上连续，又 ， ，由零点定理知，存在 ，fxb()0fb(,),cba使得 .()0对 在 上用拉格朗日定理，存在 ， 使得fx,ac (,)rac(,)s， ，()()0ffr )(0fbfs再
10、对 在 上用拉格朗日定理，存在 ，使得fx,s(,)rs.()fr（17） （10 分）求微分方程 的一个解 ，使得曲线 与直236xy()yx()yx线 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积最小.1,0xy解 方程 化为 ，236x36yx其通解为，333323216e(e)()()dxdxyCdCxxCx旋转体体积 ，12320(6)()75V，又 ，()7C2)0V故 ，体积 最小，所以 .236yx（18） （10 分）计算 ，区域 由曲线 和 轴围成.21DIdD2yx解 画出区域 的图形，单位圆 将区域 分成两部分，单位圆 内2xy21y的部分记作 ，单位圆 外的部分记作
11、，则12121 22 2 2()(1)DDDIxydxydxyd1 cos230 03()()()rr2338(cos)8d231sinisin29324182 2cos2301()()Dxydrd23308(cos)6，305185sin2isin839184故 .22DIxyd（19） （10 分）求幂级数 的收敛域及和函数.21()nnx解 收敛半径 ，211limli()(nnaR 当 时，级数 发散，当 时，级数 发散，1x21)nnx21(1)()nn故幂级数 的收敛域为 .21()nnx(1,)其和函数2111()()nnnnsxx101111()()()nxnnnx d ， .
12、20()l()()xdx (,)（20） （11 分）设 是实对称矩阵， ， 的三个特征值之和为 ，且3A1A1是方程组 的一个解向量.102T（ ， ， ） (4)0Ex求矩阵 ；求方程组 的通解.(6)0Ax解 是方程组 的一个解向量 ，即12T（ ， ， ） (4)0Ax(4)0AE，又 ，故 ，所4*12E4123以 是 的对应特征值 的特征向量；0T（ ， ， ） 3设 的另外两个特征值为 ，则 ，解得A12， 123123A，12设 对应的特征向量为 ，则它与 正交，即123,)Tx（ 102T（ ， ， ），其基础解系为 ，130x10T（ ， ， ） ， （ ， ， ）令 ，则
13、 ，12(,)P， 123PA所以 102A ，(6)0(6)0(2)0ExAxAEx，1124A同解方程组为 ，通解为 ，其中 为任意常数.1323x12001TTkk（ ， ， ） （ ， ， ） 12,k（21） （11 分）设 n 阶实对称矩阵 的秩为 ，且满足 ，求ArA二次型 的标准形；TxA行列式 的值，其中 E 为单位矩阵.|2nE解 设 ，则 ，又 ，(0)2A2A故 或者 .2210由 n 阶实对称矩阵 的秩为 知， ， 分别为 的 重和 重特征值，rrn故存在正交矩阵 ，使得 .P1rTEOAP经正交变换 ，二次型 的标准形为 .xyx221ryy ，故行列式2A2n.1
14、111| () (1)rEnPPEPEnn（22） （11 分）已知随机变量 与 的联合概率分布为XY01/3证明 与 不相关的充分必要条件是事件 与 相互独立；XY1Y1X若 与 不相关，求 与 的边缘分布.Y解 由概率分布的性质知 05 与 不相关的充分必要条件是 ，Y(,)0CovEY的概率分布为 ， ，X1313X的概率分布为 ， ，Y012EY的概率分布为 ， ，X313X，12(,)()CovY故 与 不相关的充分必要条件是 .X12()03事件 与 相互独立的充分必要条件是1, 11PYPYX，,03X，21()3故事件 与 相互独立的充分必要条件是 ，Y112()3所以 与 不相关的充分必要条件是事件 与 相互独立.XYX若 与 不相关，则 ，故 的概率分布为2(),36
