1、1.2 充分条件和必要条件（1）【教学目标】1从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断【教学过程】一、复习回顾1命题：可以判断真假的语句，可写成：若 p 则 q2四种命题及相互关系：3请判断下列命题的真假：（1）若 ,则 ; （2）若 ,则 ;xy22xy（3）若 ,则 ; （4）若 ,则11二、讲授新课1.推断符号“ ”的含义：一般地,如果“若 ,则 ”为真, 即如果 成立，那么 一定成立,记
2、作:“ ”;pqpqpq如果“若 ,则 ”为假, 即如果 成立，那么 不一定成立,记作:“ ”.用推断符号“ 和 ”写出下列命题：若 ，则 ；若 ，则 abcab；acb2充分条件与必要条件一般地，如果 ，那么称 p 是 q 的充分条件；同时称 q 是 p 的必要条件pq如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“ ”表示有 必有 ，所以 p 是 q 的充分条件，这点容易理解但同时说 q 是 p 的必要条件是为什么呢？ q 是 p 的必要条件说明没有 就没有 , 是pq成立的必不可少的条件,但有 未必一定有 . p充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的
3、，条件是足以保证的它符合上述的“若 p 则 q”为真（即 ）的形式 “有之必成立，无之未必不成立” 必要性：必要就是必须，必不可少它满足上述的“若非 q 则非 p”为真（即 ）qp的形式 “有之未必成立，无之必不成立” 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件） ，即 且 ；pq（2）充分不必要条件，即 且 ；B3A C图 2CA B图 4CA B图1图 3B3A（3）必要不充分条件，即 且 ；pqp（4）既不充分又不必要条件，即 且 3从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设 为两个集合，集合 是指,ABAB。这就
4、是说， “ ”是“ ”的充分条件， “ ”是“ ”xABxAxxx的必要条件。对于真命题“若 p 则 q”，即 ，若把 p 看做集合 ，把 q 看做集合 ，“ ”相当于“ ”。pq（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关 闭合”为条件 ， “灯泡 亮”AB为结论 ，可用图 1、图 2 来表示 是 的充分条件， 是 的必要条件。B（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：若 ，则 ；abcb若 ，则 ；0x2若两三角形全等，则两三角形的面积相等三、例题例 1：指出下列命题中， p 是 q 的什么条件 p： ， q： ；0x120x p：两直线平行， q：内错角相等； p： ， q：
5、 ；ab2 p：四边形的四条边相等， q：四边形是正方形四、课堂练习课本 P8 练习 1、2、3五、课堂小结1充分条件的意义；2必要条件的意义六、课后作业：1.2 充分条件和必要条件（2）教学目标：1进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2掌握判断命题的条件的充要性的方法；教学重点、难点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断教学过程：一、复习回顾一般地，如果已知 ，那么我们就说 p 是 q 成立的充分条件，q 是 p 的必要条件pq“ ”是“ ”的 充分不必要 条件abc0abca若 a、b 都是实数，从 ； ； ； ； ；b0a0b20ab中选出使 a、b 都不为 0
6、的充分条件是 20二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题1要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例 1：已知 p： ； q： x、 y 不都是 ， p 是 q 的什么条件？2xy1分析：要考虑 p 是 q 的什么条件，就是判断“若 p 则 q”及“若 q 则 p”的真假性从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若 p 则 q”的逆否命题是“若 x、 y 都是 ，则 ”真的12xy“若 q 则 p”的逆否命题是“若 ，则 x、 y 都是 ”假的21故 p 是 q 的充分不必要条件
7、注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手练习：已知 p： 或 ； q： 或 ，则 是 的什么条件？2x32x1pq方法一： :3:显然 是 的的充分不必要条件q方法二：要考虑 是 的什么条件，就是判断“若 则 ”及“若 则 ”p pqqp的真假性“若 则 ”等价于“若 q 则 p”真的“若 则 ”等价于“若 p 则 q”假的q故 是 的的充分不必要条件p2要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例 2：若 M 是 N 的充分不必要条件， N 是 P 的充要条件， Q 是 P 的必要不充分条件，则M 是 Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性 显然 M 是 Q 的充
8、分不必要条件MNP3充要性的求解是一种等价的转化例 3：求关于 x 的一元二次不等式 于一切实数 x 都成立的充要条件21ax分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于004aa函4充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例 4：证明：对于 x、 y R， 是 的必要不充分条件020xy分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于 x、 y R，如果 20xy则 ， 即0故 是 的必要条件xy20y不充分性：对于 x、 y R，如果 ，如 ， ，此时xy0x1y20xy故 是 的不充分条件020综上所述
9、：对于 x、 y R， 是 的必要不充分条件20xy例 5： p： ； q： 若 是 的必要不充分条件，2101mpq求实数 m 的取值范围解：由于 是 的必要不充分条件，则 p 是 q 的充分不必要条件于是有 1209三、练习：1若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件 （必要不充分的条件）2对于实数 x、y，判断“x+y8”是“x2 或 y6”的什么条件 （充分不必要条件）3已知 ，求证： 的充要条件是： .0ab1ab320abab1.2充分条件与必要条件说课教案一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学
10、数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。在旧教材中，这节内容安排在解析几何第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。教学重点：
11、充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概
12、念比较抽象,中学生不易理解, 用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一 ,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践 ,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解 .对于“B=A”,称 A 是 B 的必要条件难于接受 ,A 本是 B 推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。教学关键：找出 A、B，根据定义判断 A=B 与 B=A 是否成立。教学中，要强调先找出 A、B，否则，学生可能会对必要条件难以理解。二、教学目标设计：（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。2、能利用充分条件、必要条件、充要
13、条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。（三）情感目标：1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。3、通过“会观察”
14、，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。三、教学结构设计：数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到生活的原型。我对本节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”，在教学方法上采用了“合作探索”的开放式教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化的发展。整体思路为：教师创设情境，激发兴趣，引出课题
15、 引导学生分析实例，给出定义 例题分析（采用开放式教学） 知识小结 扩展例题练习反馈整个教学设计的主要特色：（1）由生活事例引出课题；（2）例 1 采用开放式教学模式；（3）扩展例题 2 是分析生活中的名言名句，又将数学融入生活中。努力做到：“教为不教，学为会学”；要“授之以鱼”更要“授之以渔”。四、教学媒体设计：本节课是概念课，要避免单一的下定义作练习模式，应该努力使课堂元素更为丰富。这节课，我借助了多媒体课件，配合教学，添加了一些与例题相匹配的图片背景，以激发学生的学习兴趣，另外将学生的自编题利用多媒体课件展示出来分析，提高了课堂教学的效率。五、教学过程设计：第一，创设情境，激发兴趣，引出
16、课题：考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，为了让学生更易接受这一节内容，我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的知识分析，事例中包括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。我用的第一个事例是：“做一件衬衫，需用布料，到布店去买，问营业员应该买多少？他说买 3 米足够了。”这样，就产生了“3 米布料”与“做一件衬衫够不够”的关系。用这个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件的定义。这里要强调该事件包括：A：有 3 米布料；B：做一件衬衫够了。第二个事例是：“一人病重，呼吸困难，急诊住院接氧气。”就产生了“氧气”与“活命与否”的关系。用这个事件的目的是为了第二部分引导
17、学生得出必要条件的定义。这里要强调该事件包括：A：接氧气；B：活了。用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。第二，引导学生分析实例，给出定义。在第一部分激发起学生的学习兴趣后，紧接着开展第二部分，引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。（用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”）可记作： 。AB还应
18、指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。这里，只要一下子“定义”清楚了，下边再解释“ ，A 是 B 的必要条件”是怎么回事。这样处理，学生更容易接受“必要”二字。（因无 A 则无 B，故欲有 B，A 是必要的）。当两个定义分别给出后，我又对它们之间的区别加以分析说明，（充分条件可能会有多余，浪费，必要条件可能还不足（以使事件 B 成立）从而顺理成章地引出充要条件的定义（既是必要条件，又是充分条件，就称为充分必要条件，简称充要条件，记作： 。（不多不少，恰到好处）。使学生在此BA先对两个充分条件和必要条件两个概念的不同有了第一次的认识，第三部分再利用具体的数学事例来强化
19、。第三，例题分析：例 1 采用开放式教学，课前请学生在预习的基础上，以学习小组为单位，在尽可能广泛的知识范畴中，课外编制关于充分条件、必要条件的命题。教师借助实物投影仪，在课上有目标地选择三组通过组合的学生自编题原文出示，通过学生口答，引导讨论，质疑解惑，在“开放”的情景中推进教学过程，在点评“聚焦”中形成知识要义，从而发展学生思维。由于时间关系，对没有选到课堂上讲评的其他学生自编题，另汇编成课后作业，继续学习讨论，这样一来，能最大限度的发挥学生的积极性和保持他们参与教学研究的热情。在分析各组题时都注意，让学生先养成找出 A、B 的习惯，以使学生突破学习难点：“A=B”,称 B 是 A 的必要
20、条件,这里最好能让学生避免将 A、B 理解成条件和结论，否则学生就可能会有这样的想法：“B 本是 A 推出的结论,怎么又变成条件了呢?”。选的第一组题，旨在对“充分条件”、“必要条件”、概念的复习巩固，选题的难度控制在极大部分学生能接受的范围程度，除第 4 小题对不等式符号的处理需要教师略加点拨外，其余学生均能自行解答。命题内容涉及几何、代数较广泛领域，也包括初学的“集合”知识，达到预期目标。第一组题：（1） 的（充分不必要）条件。“0“,baRba是（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。（3）“设集合 A= ，B= ”，则“ ”或“ ”是3|x4|xAxBx
21、的（必要不充分）条件。“BAx（4） 的（必要不充分）条件。0ba是选的第二组题，旨在加强学生思维的灵活性、辩析深刻性。编题者与答题者答案不尽相同，可以形成开放性求解研究的趣味，在选择比较答案的过程中，加深对数学实质内涵的认识。如第（2）小题，学生提出三个不同答案：（1）；（2） ；（3） 。紧扣概念，教0ba且 baa且0, 1ba且师引导分析结论的正确性（说明还有其他答案），比较答案（1）、（2），则是同类答案的优化问题；比较答案（1）、（3），则是一般性和特殊性的问题，可引申作点评。学生在问题的讨论过程中感悟到探索的价值，认识到与传统的演绎推理方法的差异，体现了群体中个体的优势。鼓励和倡
22、导了创造性思维。至此，“开放”的目的基本到位。学生思维被“激活”，充分体现出“开放性”的活力。第二组题： （1）写出 的一个必要不充分条件（ ）。2x 2x可 答（2）写出 0 的一个充分不必要条件 。ba )0(ba且可 答（3）二次函数 满足 条件，是函数图cxy,2当 字 母c且可 答象与 x 轴有交点的充分不必要条件。选的第三组题，旨在纠偏纠错，让学生先发现或是数学问题，或是语言表述问题的错误，从而先改正后分析。这样，既可以让学生发现问题，及时改正错误，对语言表述引起重视，又可以培养团结协作的精神。第三组题：（1）“Q 是 R 的充分不必要条件” 改正为： 的 条件；“RxQ是（2）“
23、等腰三角形底角相等是什么条件” 改正为：“一个三角形为等腰三角形”是“一个三角形有两个角相等”的 条件。分析完以上三组题，新课的目标已在顺理成章中基本完成。学生在认知变化过程中，不机械模仿，不自我封闭，即使在“开放”过程中暴露知识缺陷，经过学生讨论辩析，教师答题解惑，在顺应作用下发展，实现了“质”的变化。这种教学思想来源于著名的瑞士教育心理学家、发生认识论创始人让皮亚（JeanPiage18961980），提出的发生认识论原理。例 1 讲评结束时我注意给学生提供了适度的学习指导，加深对数学本质的理解，让学生反思例 1，引导学生归纳、总结并概括本堂课的学习内容。特别是让学生从集合的角度来理解充分
24、条件和必要条件。在学生归纳的同时，进行板书。板书：1、简化定义：如果已知 ，则说 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必要条件。2、判别步骤：（1）找出 A 和 B（2）考察 和 的真假。（3）根据定义下结论。3、判别技巧：（1）可先简化命题。（2）否定一个命题只要举出一个反例即可。（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。4、从集合的角度来理解： ，相当于 ，即 或 即：要使 成立，只要 就足够了有它就行 ，相当于 ，即 或 即：为使 成立，必须要使 缺它不行等价于 。 ，相当于 ，即 即：互为充要的两个条件刻划的是同一事物考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生
25、活中的推理判断密切相关，因此设计了例 2,它既是本节课的画龙点睛之笔，又与本节课开始由生活事例引出课题首尾呼应。设计例 2 也让学生从数学的角度重新审视生活中的名言名句，体现了数学作为人类文化结晶的特点，也使这节数学课融合了浓厚的文化气息。教学中，我通过多媒体课件逐一展示名言名句并配上与名言名句相匹配的图片背景，让学生探讨其中的充要关系，此时课堂学习的气氛再一次达到了高潮，每个学生都踊跃发表自己的观点。当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”。 例 2：探讨下列生活中名言名句的充要关系.（1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竟成（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。第四，作业布置：1、本节书上的课后练习和习题。（要求先写出 A、B，再判断）2、讨论研究同学们的自编题。
