1、1.1.1 变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般
2、、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 34)(rV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 34(r分析: 34)(Vr，1 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 )(62.0)(1dmr气球的平均膨胀率为 /62.0)(Ldr2 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 )(.)(r
3、气球的平均膨胀率为 /1.)(mr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 12)(Vr问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m )与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v度粗略地描述其运动状态?思考计算： 5.0t和 1t的平均速度 v在 .0t这段时间里， )/(05.45.0)(smhv；在 21这段时间里， 2812)(探究：计算运动员在 4960t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运
4、动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， )0(4965h，所以 )/(04965)(mshv，虽然运动员在 t这段时间里的平均速度为 )/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 12)(xff表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率2若设 12x, )(12fxf (这里 看作是对于 x1 的一个“增量” 可用 x1+x代替 x2,同样 )(yf)
5、3 则平均变化率为 xf xffxf)(1112思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率 12)(f表示什么?hto直线 AB 的斜率三典例分析例 1已知函数 f(x)= 2的图象上的一点 )2,1(A及临近一点),(yB,则 解： )1(22xx， xy 3)1例 2 求 2在 0x附近的平均变化率。解： 20)(xy，所以 xy200)( x0202所以 2xy在 0附近的平均变化率为 x0四课堂练习1质点运动规律为 32ts，则在时间 )3,(t中相应的平均速度为 2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动 ,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=f(x)=x3 上
6、两点 P（ 1，1）和 Q (1+x,1+y )作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业1.1.2 导数的概念教学目标：x1 x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)x253t1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49650
7、t运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ，)0(4965h所以 ，)/(04965)(mshv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际t )/(0ms情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是2t多少？考察 附近的情况：2t思考：当 趋近于 0 时，平均速度 有什么
8、样的变化趋势？tv结论：当 趋近于 0 时，即无论 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，t平均速度 都趋近于一个确定的值 v13.hto从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，tv因此，运动员在 时的瞬时速度是2t13./ms为了表述方便，我们用 0()(2li .tht表示“当 ， 趋近于 0 时，平均速度 趋近于定值 ”t v13.小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 :00)(limlimxff我们
9、称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即f00()fx0|xy0()()lixf说明：（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率（2） ，当 时， ，所以0x0 00()()limxfxf三典例分析例 1 （1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数.分析：先求 f=y =f(x)-f ()=6x+(x) 2再求 再求6x0lim6x解：法一 定义法（略）法二：2211133()|lililim3()6x xxy （2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 2解： xxy 32)()120 0()(1)()limlim(3)x xyf 例 2 （课
10、本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，hC2()715(08)fx计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义6解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和2h6(2)f6f根据导数定义， 0(2)(fxf2()7157215)3x xx 所以 00()limli(3)xxff同理可得: 65在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 5，说明在 附近，原油2h 32h温度大约以 的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上升3/C 6h/C注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的
11、变化情况0()fx0x四课堂练习1质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为32ts3t2求曲线 y=f(x)=x3 在 时的导数13例 2 中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义h5五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念六布置作业1.1.3 导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示
12、函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在 x=x0 附近的变化情况，导数 的几何意义是什么呢？0(f二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当 沿着曲线(,)(1,234)nnPxf趋近于点 时，割线 的变化趋势是什么？()fx0(,)PxfnP我们发现,当点 沿着曲线无限接近点 P 即 x0 时,割线 趋近于确定的位置，这nPnP个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.问题：割线 的斜率 与切线 PT 的斜率 有什么关系？nnkk切线 PT 的斜率 为多少？容易知道，割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点 P 时，n 0()
13、nfxfnP无限趋近于切线 PT 的斜率 ，即nkk000)(lim()xffxf说明：（1）设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在 ,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 处的切线的斜率，0
14、(,)xf图 3.1-2即 000()()limxfxff k说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标;求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点0 000()()limxfxff k 的切线的斜率；0(,)xf利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当 x0()fx变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作： 或 ，y即: 0()limxffy注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。()f00()fx()fx（1
15、）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是函数 f(x)的导函数 (3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求()fx00()f()fx0函数在点 处的导数的方法之一。0三典例分析例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.（2）求函数 y=3x2 在点 处的导数.1,)解：（1） ,22210 0(1)|limlimx xx 所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为 即(1)yx0y（2）因为211133()|l
16、ilili36x xxy 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 即(1)yx630xy（2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 21x解： xy 32)()120 0()(1)()limlim(3)x xxfA A例 2 （课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比()4.96.51hx较曲线 在 、 、 附近的变化情况t0t2解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，()h0t12t刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况()t（1） 当 时，曲线 在 处的切线 平行0()t00l于 轴，所以，在 附近曲线比较
17、平坦，x几乎没有升降（2） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下1t()ht11l1()0ht1t降，即函数 在 附近单调递减24.96.50xx（3） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线2t()t22l2()t 2t下降，即函数 在 附近单调递减.1hxx从图 3.1-3 可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线在 附近比1l2l 1t在 附近下降的缓慢2t例 3 （课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )cft/mgL随时间 （单位： ）变化的图象根据图像，估计 时，血管中药tmin0.2,4.6,0
18、8t物浓度的瞬时变化率（精确到 ） 0.1解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图()ft像上看，它表示曲线 在此点处的切线的斜率()ft如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 处的切线，并在切线上去两点，如 ， ，则它的斜率为：0.8t(0.7,91)(.0,48)491.4.7k所以 (.)f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()ft0.4 0 -0.7 -1.4四课堂练习1求曲线 y=f(x)=x3 在点 处的切线；(1,)2求曲线 在点 处的切线4,2五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六布置作业1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 、 、 、ycx2y的导数公式； yx
