1、解决问题教学中画图策略的有效运用研究1解决问题教学中画图策略的有效运用研究一、我研究的教学问题（一）我的教学困惑一直以来，我国小学数学都是把“应用题”作为一个独立的领域进行教学，然而，数学课程改革彻底打破了这一传统格局。 数学课程标准把“应用题”融合于“数与代数” 、 “空间与图形” 、 “统计与概率”等领域之中，并把它作为各领域解决其相应实际问题的有机部分而呈现。我们可以发现“解决问题”与以前的“应用题”比较确实存在着许多优点：比如从选材上讲改掉了选材陈旧、缺乏现实意义、脱离学生生活等弊病，更具有趣味性、现实性、可探索性，赋予了应用题新的生命；题材的呈现方式突破了老教材单一的文字叙述，采用表
2、格、图形、对话、文字等多样化形式，更受学生们的喜爱；另外，解决问题策略的多样化和答案的不唯一性更能培养孩子的创新能力。但是，任何改革都是一把双刃剑，我们应该看到它也存在缺点，如：把它融合于各领域中有机呈现，虽随处可见，但缺乏系统性，许多课标教材都没有把应用题作为一个独立的内容来教学，对于解题的一些方法、策略，教师没有很好或不知道如何系统地教学；另外各个领域的教学又有自身的教学重点，教师往往会厚此薄彼，很难把握教学的尺度。因此，在教学实践中，我们往往可以发现不少学生（尤其是中差生）解决问题的能力不强。有的学生读题能力差，往往不能准确的把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际中去;
3、对所学数学知识的实际背景了解不多,缺少必要的生活体验；对来自生活的各种信息不能准确理解；解决问题的方法、策略不够多样、准确，思路不够开阔，等等。数学是解决问题的科学，它的主要功能是解决问题，具体解题时选择解题的方法和策略是十分重要的。由于孩子年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会发生一些困难。老教材中解决应用题的三大法宝：画线段图理解题意，用分析法或综合法分析数量关系和最后的验证，对一大部分学生特别是后进生是非常有帮助的。尤其是画图对理清题意和数量关系起到非常大的作用。如果适时地让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此我认为，画图应该
4、是孩子们掌握的一种基本的解决问题的策略。它可以通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力的高低。然而，在解决问题的教学过程中我发现学生运用画图策略分析、解决问题的能力很弱。主要表现有：1.画图意识的缺失。在解决问题的过程中，很多学生感到无从下手，不知道应该从何去分析，不少同学很难会想到运用画图去分析解决问题，除非教师要求学生去画图。2.不会看图。遇到以图形信息为主的数学问题时，学生往往不会从图形中解决问题教学中画图策略的有效运用研究2挖掘有用信息。3.不会画图。在以往的解决问题教
5、学中教师更多地注重知识教学和问题本身的解决，而不重视对解题策略的总结和归纳，一些学生虽想到了画图，却欠缺画图的能力，缺乏画图的策略。（二）我对问题产生的原因分析1.教材的原因翻开人教版的 12 册教材，我们可以发现教材对于“画图策略”并没有以独立的单元形式进行教学，但是在教材的很多地方蕴涵着画图策略的材料。下面是我对人教版教材“画图策略的运用”的一个整理。（如下表）册数 页数 教学内容 画图策略的运用一上 P6-7 比一比可引导学生用自己喜欢的图形画一画、比一比。一下 P27-29 图形的拼组下图中缺了( )块,可让学生亲自画一画,感受一下。二上 P99 数学广角每两个人握一次手，3 个人一共
6、要握几次手？二下 P115 找规律 例 1：三上 P112数学广角“搭配问题”有几种不同的穿法：三下 P108 数学广角“集合”四上P113数学广角“沏茶问题” 把“沏茶问题”用示意图来表示出来： 、解决问题教学中画图策略的有效运用研究3四下 P117数学广角“植树问题”五上 P92 组合图形的面积通过画一画，把图形分成几个简单的图形再算出它的面积。五下 P64 分数的意义任选一个，在图中涂色表示出来。六上 P112-123数学广角“鸡兔同笼”笼子里有若干只鸡和图兔。从面上面数，有 8 个头，从下面数，有 26 只脚。鸡和兔各有多少只？如果笼子里都是鸡，那么就有 8216只脚，这样就多出 26
7、1610 只脚。一只兔比一只鸡多 2 只脚，也就是1025 只兔。所以笼子里有 3 只鸡和5 只兔。六下 P91数学思考例 5：6 个点可以连成多少条线段？8 个点呢？我们可以发现教材在画图策略的编写中有着许多优点。比如画图策略呈现形式比较丰富，有线段图、示意图、统计图、实物图等。画图不强求统一的格式，只要学生画的图能够有效地帮助自己分析和解决问题即可。画图策略几乎贯穿于整套教材之中，无论是在解决简单问题还是解决复杂问题时都发挥了画图策略的优势，通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决的突破口。 但是不可否认，教材在画图策略的编写中也存
8、在不足。教材在解决问题的过程中比较重视运用画图策略，但缺乏明确的指导。一般都是直接呈现或以问两端都不种：一端种：两端都种：解决问题教学中画图策略的有效运用研究4题形式提示学生，但具体该怎样画却没有体现。这样既不利于教师准确把握教材，也不利于学生更好地掌握画图策略。教材对画图策略的编排系统性不强，各年段的联系和渗透体现不明显。在低年级主要以实物操作、实物图的形式呈现的，画图策略相对隐性，在中年级画图策略体现得较少，到了高年级画图策略相对明确且呈现形式比较多样。 2.教师的原因（1）教师在解决问题教学过程中对学生画图策略的培养意识不强，对学生用画图解决问题的要求缺乏持续性，平时作业中对学生很少或没
9、有画图要求。（2）教师对学生画图策略的培养方式方法不当。教师的包办现象太严重，读题、看图、画图甚至于分析图的工作一概由教师包办。3.学生的原因。（1）学生用画图策略解决问题的意识薄弱。（2）学生的画图策略知识欠缺，画图能力只是停留在初级、表层的水平。二、我的理性思考(一) 同类课题研究综述“问题解决”是美国数学教育界 80 年代以来的主要口号。在国内，作为“解决问题”的前身“应用题”教学有不少专家、学者进行研究取得很多成果。作为新课程中的“解决问题” ，也有不少专家和一线老师从不同角度进行研究。有从“数形结合”入手研究的：瑞安市塘下镇鲍一小学的陆昌波老师研究的“数形结合是问题解决的有效策略”
10、； 方洞中学的张伟老师研究的“如何利用“数形结合”的思想解决应用题教学的难点” 。有从“年段”入手研究的：常州市新北区新桥中心小学的万小玲老师的“小学低年级数学解决实际问题教学策略的研究” ；北京某校课题组研究的“培养中小学生问题解决能力策略的研究” 。本课题研究是借助图形，把纯文字的解决问题变得直观明了，在纷繁的数量之间，去除非本质属性，抓住数量之间的本质联系。指导学生如何借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，恰当地借助直观图形，让数量基于图形“显山露水” 。当然，在解决问题的过程中，借助图形是过程状态，并不是最终结果。解决问题借助形，但不是依赖形。要让“形”(图形)
11、变为“象”(表象)，让眼前的形变为脑中的形，从而从内在达到提高学生解决问题的能力。（二）我对解决本问题的理论分析现代认知心理学：现代认知心理学认为，解题过程实质上是一个信息的“输入加工输出”的过程。解题所需要信息一方面由题目本身提供，另一方面由贮存于解题者长时记忆中的相关信息提供。审题就是解题者对题目信息的发现、辨认、转译等阶段。发现信息是指拿到题目时，通过逐字逐句的阅读，理解描述问题的每个句子，进而能充分、全面地感知题目的信息；辨认信息是当题目的信息被感知时，能结合问题目标区分问题的有关信息和无关信解决问题教学中画图策略的有效运用研究5息，特别是要抓住关键信息；转译信息，一方面指由于数学评议
12、的高度抽象性，某些信息或问题不能直接加以利用或回答，审题时应当通过思考将其转译为自己熟悉的，便于理解和应用的问题或信息，另一方面指为了便于解决问题需要按一定的顺序对有关住处进行分类或重新组合，有时还要借用图示的方法编译信息。发现学习理论：布鲁纳的认知一发现学习理论，强调直觉思维在学生学习上的重要性。他认为，直觉思维是采用跃进、超级和走捷径的方式来进行的，其本质是映象或图象性的，一般不靠言语信息。小学生的学习需要也有可能使用直觉思维，所不同的只是问题的程度不同，但问题的性质与科学家面临的问题性质是一样的。教师要帮助学生在探究活动中形成丰富的表象，防止过早语言化。如果教师能使学生掌握了适合于他们智
13、力发展的符号，那么就能在认识上形成早期的结构。发现法具有四种显著的效果：有利于提高智慧的潜能；能促使外在动机向内在动机的转化，提高对学习材料的内在兴趣，增强发现的自信心；能学会发现的试探方法。布鲁纳说：“人们只有通过提出问题和努力于发现，方能学会发现的试探方法。 ”有助于增强记忆。建构主义理论：建构主义理论的内容很丰富，但其核心只用一句话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构(而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑中传送到学生的笔记本上)。建构主义学习观认为学习者的建构是多元化的，其中之一是帮助学习者做好在不确定的情境中解决问题的准备。支持学
14、生对所学内容与学习过程的反思，发展学生的自我控制的技能，成为独立的学习者。 数形结合思想：就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形少数时难入微。形象说明了数形结合的重要性，指出了数学问题应从数形相联系入手。数与形是数学研究的两个重要方面。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解
15、题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。（三）课题的界定解决问题：现实世界中许多问题可以抽象出数学问题，利用数学方法解决这些问题，或者模拟实际问题编些问题，用上述的知识方法去解决，那就是“数学应用”了，这些问题统称为“数学应用题” 。 画图策略：是指解题者在解题过程中，运用画图的方式，画出与题意相关的图形或图案，借以帮助解题者观察、推理、思考，是解决数学问题的一种手解决问题教学中画图策略的有效运用研究6段。数学是门抽象的学科
16、，尤其对小学生而言有些数学问题抽象度较高，因此画出图形常有助于问题的解决，通过画图的方式使问题具体化、形象化，进而找出解题的途径。可见教师解题时可以通过画图说明，也建议学生运用画图方法于个人解题活动中。有效运用：是指在教学中，教师运用恰当的教学方法、方式，用最少的时间，投入最小的精力，取得尽可能好的教学效果，实现既定教学目标。有效运用主要体现在关注学生的进步和发展，关注可量化，要求教师有优化与效益的观念。 三、我的实践操作（一）整体操作流程我经过一年的实践与研究，形成了以下操作流程。（二）具体操作方法1.让学生“要画”-体会画图策略的价值和作用。在解决问题的过程中，很多学生感到无从下手，不知道
17、应该从何去分析，当然不少同学很难会想到运用画图去分析解决问题，除非教师要求学生去画图。因而，让学生深切体会画图策略的价值和作用具有重要的现实意义。我们知道，低年级孩子对抽象的数量关系的理解存在着一定困难。如果适时的让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以帮助学生分析理解抽象的数量关系，从而找到解决问题的方法。因此，我们应该在低年级教学中就应有意识地让学生借助图来分析理解数量关系。例如：在教学“同学们排队做操，小民的前面有 3 人，后面有 5 人，这一行一共有多少人？”时，很多学生一看题中的数字及问题马上就列出算式：3+5=8，这一行一共有 8 人。教师可以先不急于否定，而是引导他们：同学们想不想
18、画图试试呢？让学生根据题意画图看看。很多学生画出了这样的图：让学生“要画”-体会画图策略的价值和作用让学生“敢画”-体会画图策略的多样性让学生“会画”-掌握用画图策略解决问题的过程注意画图策略与其他策略的联系注重画图策略教学中数学思想的渗透解决问题教学中画图策略的有效运用研究7还有用画三角形、画圆圈、画小人、写文字等等。通过画图学生很快就发现了自己原来的错误，并且从图中一下子就可以找到答案，深刻体会到画图在解题过程中的作用。 还有在教学求几倍数的乘法应用题 “小华有 2 个五角星，小明的五角星是小华的 3 倍，小华有几个五角星？”时，也可通过画图来帮助理解： 小华：小明： 有 ？个学生通过画这
19、样的图后往往能对其中的倍数关系理解更为深刻。到了中高年级学生的逻辑思维力已有一定程度的发展，应逐渐鼓励学生主动尝试运用画图策略解决实际问题。在教学中，教师既不是把现成的图画好展现给学生看，也不是直接告诉他们怎样画，而是让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。例如下面的教学案例：师：最近小白兔和小灰兔正在为一个问题争辩得不可开交，怎么回事呢？我们一起去看看。原来兔子们有一个长方形菜地， （出示图片）兔子们想扩大这块菜地面积。小白兔说：应该把长增加 3 米，小灰兔说应该把宽增加 3 米，你们说说看，谁增加的面积大，为什么？ 师：想一想，我们该用
20、什么方法来证明自己的猜想呢？（学生画示意图） 师：（指着示意图）小白兔的长怎样增加？宽有没有变化？增加的部分请用手势表示一下。 小灰兔的宽增加了，长有变化吗？增加的部分也用手势表示一下。 请同学们观察这两幅图，你有什么发现？ （小灰兔增加的面积大） 课件出示图形变化。 师：对了，从图上，我们一眼就能看出谁增加的面积大。看来，画图真是一个好办法。可同样增加 3 米，为什么增加的面积有大有小呢？ 小白兔增加的面积怎么求？小灰兔增加的面积怎么求？（因为小白兔增加的面积是宽3，小灰兔增加的面积是长3，长比宽长） 师：因为长比宽长，所以，小灰兔增加的面积大。 师小结：刚才，同学们开动脑筋，用画图的方法为
21、小兔子们解决了问题，真棒！总之，在小学数学教学中，画图是一种很好的解决问题的策略。教师在教学的过程中要善于利用，多加引导，适时渗透，使学生真正体会到画图策略在解决生活中实际问题的价值和作用。 2.让学生“敢画”-体会画图策略的多样性。解决问题教学中画图策略的有效运用研究8在传统的应用题教学中，提到画图可能教师们想得更多的是线段图，而且那时的线段图在画法上也有明确的要求，如格式必须规范、画图必须准确、要用直尺等，可以说传统的教学是把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生往往不愿意按照老师的要求来画图。新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形
22、式也不只限于线段图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图、统计图等。学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此，教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。学生的画图形式是多种多样的，这些图是我们成人想不到的，他们可以用这么多种图的形式来分析题目中的数量关系，真是了不起！在整个画图策略的培养过程中，教师要认识到学生所画的图，在老师的眼中也许有优劣之分，但在孩子的思考过程中并没有好坏之别，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。只要学生画的图能够有效地帮助自己分析和解决问题都应得到教师的肯定，不必强求统一的格式。这为树立学生的自信心和
23、培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。看来，只要留给学生更多的空间，适时有效的鼓励和引导，学生运用画图策略分析解决问题的能力就会不断提高。 3.让学生“会画”-掌握用画图策略解决问题的过程。在以往的应用题教学中，教师更多地注重知识教学和问题本身的解决，而不重视对解题策略的总结和归纳。事实证明，教学中如果重视对学生解决问题策略的指导，将“隐性”的解决问题的策略“显性化” ，这样会更有助于学生体会到策略在解决问题中的价值，提高学生解决问题的能力。例如，在具体求解问题前，教师可以鼓励学生思考需要运用哪些解决问题的策略；在解决问题的过程中，教师可以根据具体情况，适时使学生注意是否要调整策略；在解决问
24、题之后，教师要鼓励学生反思自己所使用的策略，并组织交流。在适当时候，教师可以总结一些解决问题的策略，让学生收集使用这些策略的典型实例。总之，教师要将解决问题的策略作为重要的目标，有意识地加以指导和教学。在实际教学中，要帮助学生掌握用画图策略解决问题的过程，促进学生体验出画图策略的作用。我们可以这样指导：（1）读题：要求学生熟读题目，明确题目中的条件和问题； （2）画图：启发学生根据题里的条件和问题，画出相应的图形；（3）显示：直观显示问题的信息，便于学生分析和思考（可在图中标出条件和问题） ；（4）分析：在画图后，引导学生借助直观图形进行分析，思考先要求什么，找出解决问题的方法； （5）解答：
25、确定解题过程要先算什么再算什么，自己解决问题，完成解答。学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。 解决问题教学中画图策略的有效运用研究9下文中的案例就很好地做到了这一点。出示：海龟一分钟能爬 20 米，螃蟹一分钟爬行的速度比海龟的 3 倍多 12 米。螃蟹一分钟能爬多少米？(1)试画“数学画” ，感知数形美师：愿意帮助小豆丁吗？能简单、清楚地把条件和问题画出来，让小豆丁一眼就能看明白吗？生：能！(2)交流中比较，初识线段图师：来，孩子们都停下手中的笔，现在重要的是要用心听一听其他同学的想法，看看他的想法对你有没有什么新
26、的启发，同意的地方就点点头，有疑问，不明白的地方，就可以举手向他们提出问题。师：大部分同学已经做好了倾听地准备了！ 师：这位同学是用画纸条的方法来整理条件和问题的，我们先来听听他的想法！生：（边指边说）这一块表示的是海龟一分钟能爬 20 米。这一块表示的螃蟹一分钟爬行的速度比海龟的 3 倍多 12 米。师：有什么问题要问她吗？生：我怎么看不出“3 倍多 12 米。”在哪呀？师：你怎么才能让大家很清楚的看出是“3 倍多 12 米”？生拿铅笔分了三段多一小块！师：还有什么问题要问她吗？大家都没问题了，那老师有个问题：她用长短不同的 3 段，表示 3 倍，大家觉得行吗？生：不可以，应该是和上面同样长
27、的三段。师：如果让你修改的话你想怎样画？生：要画得和上面的同样长的三段再多一小块！师：只用手和笔就能画准确了吗？生：要用尺子！师：尺子可是我们画图的好帮手，可不要把它给忘了呀！师：孩子，第一次画已经很不错了，老师相信下次画的时候，你一定会注意到“3 倍”这个问题，是吗？生：是的。师：这位同学又是用什么方法整理条件和问题的呢？生：我用这条小线段代表海龟一分钟能爬 20 米。这条小线段表示的螃蟹一分钟爬行的速度比海龟的 3 倍多 12 米。师：说得可真清楚，口才特棒！ 用线段画图，能把题意表达清楚吗？生：能！师：用线段画的图，我们给他起个名字？生：线段图！解决问题教学中画图策略的有效运用研究10师
28、：简单明了，数学上我们就叫它线段图。师：（大屏幕展示“纸条图”和“线段图”）比较一下哪种方法更简洁些呢？生：线段图。师：瞧，把纸条最上面的这条线去掉，不就是线段图了吗？线段图简洁明了，画“线段图”整理条件和问题，是一种很好的解决问题的策略，看，今天我们又多了一把学习数学的“金钥匙”。此外，教师在指导学生运用画图策略解决问题的过程中，还应注重不同阶段对画图策略的渗透、总结和整理。如低年级可从实际演示、操作活动中渗透画图策略；中、高年级可从模拟演示、画图示意及抽象的线段图中体现画图策略。从而整体把握画图策略，系统地进行指导教学。 4.注意画图策略与其他策略的联系。 “形成解决问题的一些基本策略，体
29、验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是数学课程标准确定的课程目标之一。学生有着不同的知识背景和思考角度，他们的差异是客观存在的，对同一个问题，由于学生的认知水平和认知风格的不同，常常会出现不同的解题方法，这正是学生具有不同个性的体现。教学中，教师应鼓励学生用已有的经验大胆思维，经历数学知识的探索过程，寻求解决问题的途径。画图策略固然是一种很重要的解题策略，但在解决实际问题中要灵活应用，有时需要与其它策略相结合，才能充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。例如：有这样一道相遇问题的题目：小平和小红同时从 A 地 B 地，小平每分钟比小红多走 20 米。30 分钟后小平到 B
30、地，然后立即原路返回，在离 B 地350 米处遇到小红。小红每分钟走多少米 ？为了让学生理解题意，可以让学生进行模拟表演，并记住演示的情况，以便作图解答。模拟表演在同学们的不断的纠正中越来越到位，说明学生对题目里所讲的事的认识也越来越清晰。在此基础上再用线段图将所模拟的情境画下来，这样题目里的数量关系也会一目了然，学生分析起来当然就容易多了。又如：让学生体会数的奇偶性的数学活动。奇偶性在生活中的运用活动一：师生互动，组织学生通过多种方法发现规律在前不久在四川汶川发生的大地震中，由于桥梁倒塌，解放军叔叔不辞辛劳，不分日夜，不顾余震的危险，一次次的将用船将物资运往灾区，再将伤员从灾区运送出来。看到这个画面，你们有什么感想吗？这里面就蕴藏着一个数学问题。他们从河的南岸出发，划向北岸，这样算划 1 次，再从北岸划回南岸算第 2 次。 猜一猜，这样划 11 次后，小船是停在南岸还是北岸呢？如果到第 100 次小船是停在南岸还是北岸？
