3.8 关系的闭包运算关系作为集合, 在其上已经定义了并、交、差、补、复合及逆运算。现在再来考虑一种新的关系运算关系的闭包运算，它是由已知关系，通过增加最少的序偶生成满足某种指定性质的关系的运算。 例如, 设，上的二元关系，则上含且最小的自反关系是：；上含且最小的对称关系是： ；上含且最小的传递关系是： 。定义3.8.1 设是上的二元关系，如果有另一个上的关系满足：（1）是自反的（对称的，传递的）；（2）；（3）对于任何上的自反的（对称的，传递的）关系，若，就有。则称关系为的自反（对称，传递） 闭包(Reflexive (Symmetric，Transitive) Closure)，记作。显然，自反（对称，传递）闭包是包含的最小自反（对称，传递）关系。定理3.8.1 设是上的二元关系，那么（1）是自反的，当且仅当（2）是对称的，当且仅当（3）是传递的，当且仅当证明 （1）若是自反的，对任何包含的自反关系，有，故；若，根据闭包定义，必是自反的。（2）、（3）的证明完全类似。 下面讨论
