第九讲 积分第一中值定理的叙述方式及其应用 积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不同。目前一般的数学分析教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方式： 定理1 设，且在不变号，则。 关于定理1的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数学分析教科书。 定理1中的结论， 可以改为。将闭区间改为开区间，有时应用起来更方便。 定理2 设，且在不变号，则。 证明：因为 所以在上有最大值M，最小值m，设。先证明存在常数有。 （9。1）不妨设，则，且若，则与之间的任何数都可为。若，则，取，则，。 现证定理2，若，定理2显然成立。今设。（1） 若（9。1）式中的满足：，由于，所以存在，不妨设，因为在连续，从而，有。（2） 若至少有一个等号成立，不妨设，则。若则定理已成立。假如，则将导致矛盾。事实上，因为已有和。
