1、211 矩阵的概念1坐标平面上的点（向量）矩阵设 O(0, 0)， P(2, 3)，则向量 (2, 3)，将 的坐标排成一列，并简记为OP OP 232日常生活矩阵（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛 复赛甲 80 90乙 86 88（2）某牛仔裤商店经销 A、 B、 C、 D、 E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有 28 英寸、30 英寸、32 英寸、34 英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28 英寸 1 3 0 1 230 英寸 5 8 6 1 232 英寸 2 3 5 6 034 英寸 0 1 1 0 33图
2、矩阵矩阵：记号：A，B，C，或（a ij）(其中 i,j 分别元素 aij 所在的行和列)yx23OP(2, 3)232380 9086 88BACDA B C DABCD0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0A B CA 0 3 1B 3 0 0C 1 0 2ACB要素：行列元素矩阵相等 行列数目相等并且对应元素相等。特别：（1）21 矩阵，22 矩阵（二阶矩阵） ，23 矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：a 11,a12列矩阵： ，一般用，等表示。a11a21（4）行向量与列向量例 1 用矩阵表示三角形 ABC，A（1，
3、0） ，B（0，2） ，C（2，0）例 2 用矩阵表示下列关系图2.1.2 矩 阵 的 乘 法1生活实例（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛 复赛甲 80 90乙 86 88如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占 40%，决赛占 60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵的形式表示： 80 9086 880.40.6 80 0.4 90 0.686 0.4 88 0.6 8687.2（2）某牛仔裤商店经销 A、B、C 、D、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有 28英寸、30 英寸、32 英寸、34 英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用
4、下列矩阵形式表示A B C D E28 英寸 1 3 0 1 230 英寸 5 8 6 1 232 英寸 2 3 5 6 034 英寸 0 1 1 0 3假 设 不 同 牌 子 的 每 条 牛 仔 裤 的 平 均 利 润 分 别 为 ： A 为 30 元 ， B 为 35 元 ， C 为 40 元 ， D为 25 元 ， E 为 40 元 ， 试 问 28 英 寸 牛 仔 裤 在 该 星 期 内 获 得 的 总 利 润 是 多 少 ？BACD80 9086 8828 英寸牛仔裤的销售量：A B C D E1 3 0 1 2不同牌子的平均利润3035402540M 1 30 3 35 0 40
5、1 25 2 40 240（元）如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法1 3 0 1 2 30 240 28 英寸牛仔裤的利润5 8 6 1 2 35 775 30 英寸牛仔裤的利润2 3 5 6 0 40 515 32 英寸牛仔裤的利润0 1 1 0 3 25 195 34 英寸牛仔裤的利润一般地： （1）行矩阵与列矩阵的乘法规则（2）二阶矩阵与列向量的乘法规则2二阶矩阵乘列向量几何意义（1） 1 00 2xy x2y矩阵 平面上每个向量（点） 变成了向量（点） ，因此它是平面到平面的一个变1 00 2 xy x2y换这个变换实际上是把平面上的图形在 y 轴方向拉伸
6、了两倍一般地：（1）平面变换的定义（2）平面变换的记号（3）平面变换的规则2.2 平 面 变 换 恒 等 变 换1恒等变换将图中所示的四边形 ABCD 保持位置不变，能否用矩阵 M 来表示？-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2系 列 1 系 列 22伸压变换能否用矩阵来表示下列图形的变换？-6-4-20246-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5系 列 1 系 列 2-1.5-1-0.500.511.5-12 -8 -4 0 4 8 12例 1 已知曲线 ysinx 经过变换 T 作用后变为新的曲线 ysin2x ，画出相关的图象，并求出变换 T 对应的矩阵 M。例 2
7、 验证圆 C：x 2y 21 在矩阵 A 对应的伸压变换下变为一椭圆，并求出此椭圆1 00 2的方程。3反射变换-3-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2系 列 1 系 列 2-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4系 列 1 系 列 2-3-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4系 列 1 系 列 2-4-3-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2 3系 列 1 系 列 2例 3 求直线 y4x 在矩阵 作用下变换所得的图形。0 11 0一般地：二阶非零矩阵对应的变换将直线变换为直线。在矩阵 M 作用下，直线 1 2变成直线 1M 2
8、M，通常称这种变换为线性变换。4旋转变换-4-3-2-101234-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4系 列 1 系 列 2例 4 已知 A（0，0） ，B（ 2，0） ，C （2，1） ，D （0，1） ，求矩形 ABCD 绕原点逆时针旋转 90 后得到的图形，并求出其顶点的坐标。5投影变换-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2系 列 1 系 列 2-4-3-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2系 列 1 系 列 26切变变换例 5 已知矩形 ABCD 在变换 T 的作用下变成图形 ABCD，试求变换对应的矩阵 M。-2-10123-6 -5 -4 -3 -2
9、-1 0 1 2 3 4系 列 1 系 列 2例 6 已知矩形 ABCD 在变换 T 的作用下变成图形 ABCD，试求变换对应的矩阵 M。-8-7-6-5-4-3-2-1012345678-4 -3 -2 -1 0 1 2系 列 1 系 列 22.3.1 矩阵的乘法一、问题：已知ABC，A（0，0） ，B（2，0） ，C （1， 2） ，对它先作 M 对应10-的变换，再作 N 对应的变换，1（1）试研究两次变换后的结果。（2）两次变换能否用一个变换矩阵表示。二、二阶矩阵的乘法规则及几何意义三、n 次变换的表示方式M n例 1 计算： A ，B 2-210A= ，B ，C 02解： AB= =
10、 =21-12(-)10(-)4-BA= = = 0-)(21- 结论：矩阵乘法不满足交换律。41-1-3、计算： X = （ ） 2021X = （ ）1-解：X =（ ） = = 4-21063-1X = （ ）= = 21-021可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。4已知ABC，A（0，0） ，B（2，0） ，C（1，2） ，对它先作关于 x 轴的反射的变换，再将图形绕原点顺时针旋转 90。（1）求两次连续的变换对应的变换矩阵 M；（2）求 A，B，C 在变换作用下所得到的结果。5若 3= ，试求 x 的值。0x1解： 3= = = = 001x01313x=1 x = 6A ，B ，求 AB，A 2，A 3，A ncosin-icosin-i四、初等变换及初等变换矩阵2.3.2 矩阵乘法的简单性质乘法的运算律：（1）交换律例 1 已知正方形 ABCD，A（0，0） ，B （1，0） ，C（1，1） ，D（0，1）变换 T1 对应矩阵为 M ，变换 T2 对应矩阵为 N 对应的变换，计算 MN，NM，比较0-.5它们是否相同，并从几何变换的角度解释。
