课堂教学中创新能力培养之我见.DOC

1、1课堂教学中创新能力培养之我见由椭圆的发现看创新能力培养杭州学军中学 闻 杰本文已于 2013.05 由中学数学杂志发表邮箱： 电话：13067788898 地址：杭州市文三路 188 号摘要：由于我们的现行教学在某种因素的影响下变得十分的功利化，不顾数学教学的本质，弃数学文化于一边，教学知识时“去头掐尾取中间” ， “去头”是去掉了“知识的发生、发展的原始轨迹” ， “掐尾”是掐掉了“知识的拓展与延伸” ， “取中间”也只是把书上的“定义、定理、公式”直接抛给了学生，管他理解与否，只要会套用公式能解题就行，致使我们的学生没了创新意识，哪来创新能力可言。本文力求从培养学生创新能力为主线，全面调

2、动学生的创新思维，强化自主学习能力，不拘泥于传统教学的几个基本环节和所谓的几个目标，而在于考虑这堂课中给予了学生什么？学生学到了什么？学生潜意识中的创造欲望是否被觉醒。观察、类比、联想、归纳等能力是否有所培养？是否有了创新的意识，创新的精神，实际动手能力是否有了提高，发散性地思考问题的思维习惯是否有了改变。整节课从开课到收尾是否环环相扣，牢牢抓住学生的注意力，让学生始终处于积极思维的状态中，是否给人有一气呵成之感。因此，本课一开始就把主动权完全交给学生，在给予空间和时间的同时把一串问题链抛给学生：从圆怎样演变成椭圆怎么发现椭圆的第一定义从圆与椭圆几何特征的异同性类比猜想出椭圆标准方程化简方程的

3、过程优化化简中的再思考再发现椭圆第二定义的发现椭圆标准方程的推出对式对偶式的思考得出双曲线的第一定义等。让学生思维引起强力的认知冲突，激发学生的学习兴趣和学习热情，调动学生学习的主动性、积极性和创造性，把学生作为一个整体发动起来。我想这样的课堂才是有效的、智慧的、精彩的。我们的时代呼吁创新，我们的教育需要创新，如果我们能注重培养学生勇于探索，善于发现，敢于类比，大胆尝试，刻苦钻研，不断进取的创新精神，我们的教育会大有进步，我们的民族会大有希望。正文纵观近几年的数学教学，由于在某种因素的影响下变得十分的功利化，且越演越烈，不顾数学教学的本质，弃数学文化于一边。教学知识时“去头掐尾取中间” ， “

4、去头”是去掉了“知识的发生、发展的原始轨迹”， “掐尾”是掐掉了“知识的拓展与延伸” ， “取中间”也只是把书上的“定义、定理、公式”直接抛给了学生，管他理解与否，只要会套用公式能解题就行，致使我们的学生没了创新意识，当然也无创新能力可言。为此，本文试图通过“椭圆的发现”教学案例，尝试我们的课堂教学如何能更有效地培养学生的创新能力，2希望学生能长期在这样的教学思想影响下逐步培养自己的创新意识，增强自己的创新精神和创新能力，快速地聪明起来。一、由图形的演变发现椭圆的第一个定义（提前让每位学生准备一条线段，两个图钉，一张硬纸板，一支铅笔）开课让学生把线条对折后用一个图钉钉住分头（两个头）的一端，另

5、一头用铅笔画出轨迹（圆） （图1）让学生把线段的分头端稍微分开一点并用两个图钉钉住两端，再画轨迹（发现不圆了） （图 1）继续把线段的分头端再稍微分开一点并用两个图钉钉住两端，再画轨迹（发现更扁了） （图 1）继续 继续 继续一直到把线段拉直，画出的轨迹是线段了为止。 （图 1） （图 1） （图 1）然后教师通过多媒体演示圆的轨迹，然后慢慢分离圆心为两点，此时，圆会慢慢变扁。如果让 关于中心点 O 对称移动，则画出的图象（如（图 2）所示） ，12,F让学生观察，原圆上的点在直径 端点处保持不变，其它点随着 的分离慢慢向直径压缩，图12A12,F形渐渐变扁。（图 2）由于圆上动点 P 到圆心

6、 不变。在分离 、 的过程中轨迹圆变扁了，但其中2OPa1F2的 没变。12Fa此时，可因势利导让学生思考两个问题：这个扁圆上点与原圆上的点否有一确定的关系？（y 坐标按比例压缩）3联想圆的定义你能归纳出扁圆的定义？（第一个定义） 。结论：动点 P 到两定点 、 距离之和为定值 （ ）时，轨迹是扁圆，我们称之椭圆，1F22a12F两个定点我们称焦点（为什么称“焦点”同学们可能会疑惑，但它一定是有实际含义的，你们可以进一步研究） 。评注：由圆的圆心分离成两个定点，并保持了 不变，使圆演变成椭圆，这是一种创新，12Pa且从中探索出了椭圆的第一定义，整个过程学生一会激动，二会感到神奇，三会沉思。激动

7、的是：圆心分离后怎么轨迹变扁了。神奇的是：这个扁圆上的点到两个定点距离之和竟然不变。沉思的是：这种现象能否从理论上给出证明。对于“焦点”名称的给出可引发学生进一步思考（事实上它与光学性质相关）二、由图形的几何特征类比椭圆方程为了对上面的结论给出理论证明，需要建立坐标系。可先让学生回顾当时圆方程的建立过程。问：建系的目的是什么？怎样建系最合理？圆的标准方程为什么这么简洁？对比“圆” （图 3）应该很快在“椭圆”上建立（如下图 3）直角坐标系。（图 3） （图 3）圆方程： 椭圆方程：？22xya面对“圆与椭圆”在这样对应的坐标系下，圆方程已经知道，且很简洁，难道你就没有大胆猜想椭圆方程的欲望吗？

8、（图 4） （图 4）4怎么猜想呢？不可盲目，要有理论根据。可以先让学生独立思考，再相互讨论，然后一起分析探求。先分析圆方程的特征与几何特征关系：圆关于 轴对称，故有 平方项 ，不应有 一次项，否则不对称；yx2x圆关于 轴对称，故有 平方项 ，不应有 一次项，否则不对称；xyy圆与 轴的交点为 ，故 时，故有12(,0)(,Aa02xa圆与 轴的交点为 ，故 时，故有yBxy所以圆方程为： 顺理成章。22xy再分析椭圆方程应该具有的特征与几何特征的关系： 椭圆关于 轴对称，故应有 平方项 ，不应有 一次项，否则不对称； x2x 椭圆关于 轴对称，故应有 平方项 ，不应有 一次项，否则不对称；

9、xyy 椭圆与 轴的交点为 ，故 时，应有 12(,0)(,Aa02xa 椭圆与 轴的交点为 ，故 时，应有yBbxyb 所以椭圆方程是：？（注：椭圆与 轴的交点可设定为 ）12(0,)(,Bb评注：由于圆与坐标轴的纵横交点一致，故方程就为： ，然而，椭圆与坐标轴的纵横交点22xya不一致，故方程就不好办了：不能写 ，也不能写 ，怎么办？22xyab此时，思维产生强力冲突，这时是诱发创新思维的极好时机。如果学生能给出： 这个形式，就请他说说道理。如果真是没有学生猜想出合理的结论，教21xyab师可启发（此时的启发时机正好） ，如果我们把圆方程改写成 ，这样你对椭圆方程的形式有感觉21xya了吗

10、？结合上面的再分析因为圆与 轴的交点为 ，故 分母下面应有 ；x12(,0)(,Aa2x2因为圆与 轴的交点为 ，故 分母下面应有 ；yBya5所以圆方程为： 合情合理。此时，猜想椭圆方程应该顺水推舟。21xya 因为椭圆与 轴的交点为 ，故 分母下面应有 ； 12(,0)(,Aa2x2a 因为椭圆与 轴的交点为 ，故 分母下面应有 ；yBbyb所以椭圆方程应为： 水到渠成。21xa评注：这种从圆的几何特征到椭圆的几何特征去分析对应方程的特征，然后通过类比得出未知曲线的方程是一种创新能力的体现，教学中值得教师花时间去培养。三、由方程的简化过程发现椭圆的第二个定义为了对上述类比结论给出严密的论证

11、，需要通过坐标运算。由“一”探索发现的椭圆定义，在上述（图 3）的坐标系下，应列出方程：设焦点 ，则有12(,0)(,Fc（1）22)xyxya上述方程实质上就是椭圆方程，但是它的形式太复杂，几何特征不显化，使用不方便，而我们数学是以简洁优美著称的，故需要对其简化。化简方程的过程是又一次创新机会来了，怎样转化既快又好？可以让学生尝试讨论 看有几种方法可行？（让学生独立化简，5 分钟后巡视）一般情况下学生会提出下列两种方法：移项平方法。即把左边一个根式移到右边后，两边同时平方，再把其他项移到右边，留根式在左边，再两边同时平方，整理即可。直接平方法。即两边直接平方，留根式在左边，其余项移到右边，再

12、两边平方，并整理也可。此时，教师应点评：上述两法均可行，但运算量太大，运算过程也不美。其实我们可以有更好更有效的方法。我们只需仔细观察：（1）式的结构特征，发现两个根式有很好的对称性，且又是齐次等系数根式，故可考虑分子有理化，即得：（2）22()()cxxcyxcya6把（1） （2）式并列，即22()()12xcyxcyacx （ ） （ ）多美的一对对偶式，（1）（2）得 （3）2()cxxcya此时，千万别激动，如果静下来观察（3）式，你还会有新的发现。你看等式左边是动点 到右边焦点 的距离 ，因而，从“ ”号意义上考虑，右边也应该是距离，P2F2P请同学们探索。评注：此处，又是一个很好

13、的创新亮点，不要轻易放过，应让学生研究讨论。一定有学生会有好想法的，我们要相信学生中有无穷的智慧和力量，关键在于我们要给予机会，让他们尝试，不要一味地包办代替，抹杀他们的创新精神。如果给了时间、给了机会还是不行，我们可以引导、启发。师生一起分析：一般情况两点的距离是“平方和”的形式,而等式（3）的右边不是“平方和”的形式，怎么办，说明这是特殊的距离，如果我们改写（3）式为 22()()caxyx（图 5）很快就能发现 可看作动点 到定直线 的距离 。 （如图 5）2axc(,)Pxy2axcPN（这定直线我们称“右准线” ，为什么要称“准线”以后你会看到它那神奇的力量，此处，又埋下伏笔，引发学

14、生思考） 。上式还可改写为： (定值记为 )2)PFceNae由此我们可以发现椭圆还有第二个定义，即动点到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为定值 。cea7如果（1）+（2）同样还会得到左焦点与左准线，即 22()()caxyx并简化为： 12()PFeMN评注：这样的化简既对称又简洁，运算有美感。同时又能及时发现椭圆的第二个定义。这是多么好的想法，学生一定会为之感染。进而对（3）再平方，又由于（二）中的设定 b,（即 ）22acb方程立即简化为：21xyab至此方程完璧归赵，与猜想完全吻合。此时，学生会有多么的激动是可想而知的。四、由对偶思想又可发现双曲线的定义抓住时机，进一步

15、引导，由“三”的对偶运算我们还可发散思维，如果把（1）中根式间的“”改成“”会怎样？会不会又是一遍新天地。即方程改为：（ ） 22()()xcyxcya2c(1)曲线又会是怎样呢？联想“三”的分子有理化方法，我们同样可以对 分子有理化，得()22()()cxxcyxcya2得122()()cxxyac得1 22()()cxaxyac8即 12()PFceMNa,1)ce这样就顺理成章地得到双曲线的两个定义。评注：用这种思路给学生上课，一方面揭示了知识发生发展的原始轨迹，又有一气呵成的感觉。整个过程一定牢牢地吸引住学生的思维，让他们始终处于积极的思考状态中，久而久之，学生习惯了，就慢慢形成了创新

16、意识。一个人如果有了创新意识，就会有创新精神，也就会有创新的动机，创新的能力也会慢慢得到培养。五、拓展延伸本节内容有很多创新的材料和机会，需要老师去把握、去引导、去运用。比如，可以布置学生的动手操作作业：1你有更好的方法画出给定长短轴的椭圆吗？2你有办法画出满足方程 的曲线吗？22()()xcyxcya这些问题可以让学生到课外讨论解决，并在下一课上汇报总结点评。六、教学随感我们的现行教学由于某种因素的影响变得十分的功利化，教学知识时“去头掐尾取中间” ， “去头”是去掉了“知识的发生、发展的原始轨迹” ， “掐尾”是掐掉了“知识的拓展与延伸” ， “取中间”也只是把书上的“定义、定理、公式”直

17、接抛给了学生，管他理解与否，只要会套用公式能解题就行，致使我们的学生没了创新意识，哪来的创新能力可言。创新是以新思维、新发明和新描述为特征的一种概念化过程。其实，从创新思维的机制来看，一节课不必拘泥于几个环节（一堂课的基本环节） ，达到几个目标（情感目标，思想目标，知识目标。事实上，大道理一堆，上课时作秀成份多，实际一个目标都不一定能达到，中国教育失败的原因也许就在这里） 。关键在于你在这堂课中给予了学生什么？学生学到了什么？学生潜意识中的创造欲望是否被觉醒。观察、类比、联想、归纳等能力是否有所培养？是否有了创新的意识，创新的精神，实际动手能力是否有了提高，发散性地思考问题的思维习惯是否有了改

18、变。尝试探索的意识是否有了加强。整节课从开课到收尾是否环环相扣，牢牢抓住学生的注意力，让学生始终处于积极思维的状态中，给人有一气呵成之感。创新教育要求我们，首先应该具有创新的思想，而创新的思想有时来自于瞬间的想法。但是我们应该知道，一个想法只不过是旧成分的新组合，这个世界上没有新的成分，只有新的组合，我们的头脑会因为一个新的想法、新的思想而拓展，在新的层面上它会继续向前，而不会后退。哲学家查提尔说过：“当你只有一个点子时，这个点子就再危险不过了。 ”没有创新的意识和思想，人9们永远只会墨守成规，千篇一律。创新精神提倡独立思考、不人云亦云，提倡不迷信书本、权威，但并不反对学习前人经验，任何创新都

19、是在前人成就的基础上进行的（本课在圆的基础上大胆类比出椭圆的标准方程就是一个大胆猜想的例证）；创新精神也提倡大胆质疑，而质疑要有事实和思考的根据，并不是虚无主义地怀疑一切（本课在化简过程中得到 （3）式的时，不激动而是质疑，静下来观察思考（3）式的几何意义，2()cxxcya从而有了新的发现：“等式左边是动点 到右边焦点 的距离 ，因而，从“ ”号意义上考虑，右边P2F2P也应该是距离” ，经研究 “得到了椭圆的第二个定义” 。这是一个多么大的发现啊！ 总之，要用全面、辩证的观点看待创新精神，只有具有创新精神，我们才能在未来的发展中不断开辟新的天地。用我的话来说，要让自己有创新思维，首先应该多

20、提问题，把事物抽象化，然后从实际中再来看这个问题的一般意义，把抽象与实际联系起来再想想有什么新的发现。世界就需要创新人才，大胆尝试大胆创新，世界就会快速进步。创新教育就要求师生之间应形成民主平等的和谐气氛，要为学生思考、探索、发现和创新提供最大的空间，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，进而形成有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境和教学体系。本堂课从一开始就放手让学生动手自主操作：画圆后分离圆心，观察、发现圆的变化与半径和的（焦半径和）不变，感悟出椭圆的第一定义。并继续放手让学生大胆从圆的几何特征和圆的标准方程的代数特征中类比出椭圆的几何特征和椭圆的标准方程的代数特

21、征，从而猜想出椭圆的标准方程。这里因为给予了思维空间和时间学生才会可能有这种尝试探索的欲望，从而培养他们的创新能力。在课堂教学中，允许学生与学生、学生与老师之间展开讨论，这能激活学生的创新思维。讨论的过程实质是相互竞争、相互诱导、相互激活的过程，学生的创新思维和想象在讨论中一旦被触发，有如激流奔放，甚至可以形成汹涌的创新思维浪潮。如本节课中的在化简椭圆方程前对方程形式的探求，对椭圆方程化简过程的多种思维碰撞、讨论，对椭圆第二个定义的发现等，均能吸引学生思考，拓宽思维的空间，激活学生从多角度、多层次去思考问题，迸发出创新思维的火花。“问题是数学的心脏” ，要培养学生的创新能力，首先要为学生创设好

22、问题，何为好问题呢？就是所给的问题是学生熟悉的（原有知识基础上的延伸或是他生活中的实际问题等） ，精心设计问题情境，要通过问题情景的创设，打破学生的心理平衡，如本课把主动权完全交给学生在给予空间和时间的同时把一串问题链抛给学生：从圆怎样演变成椭圆怎么发现椭圆的第一定义从圆与椭圆几何特征的异同性类比猜想出椭圆标准方程化简方程的过程优化化简中的再思考再发现椭圆第二定义的发现椭圆标准方程的推出对式对偶式的思考得出双曲线的第一定义等。让学生思维引起强力的认知冲突，激发学生的学习兴趣和学习热情，调动学生学习的主动性、积极性和创造性，把学生作为一10个整体发动起来。最有效的学习应是让学生在体验和创造的过程

23、中进行有意义的学习；数学课堂教学的关键是学生接受式学习与发展式学习互相补充、合理结合。数学学习的本质是学生获取数学知识，形成数学技能和能力的一种思维过程。 “思考”是学生学习数学过程中的本质特点。如本课对方程的简化提出思考问题（分子有理化，对偶运算） ，对化简后的式提出几何背景的思考（得到椭圆第二个定义） ，对式的结构提出对偶思考（得到双曲线定义）等。 学生的数学思维是对自身活动的反思，是对已有经验的反思。所以我们应该把学生的数学思考作为整个数学学习活动的核心，更多地关注学生在思考什么，怎样思考的，思考的结果怎样。我想这样的课堂才是有效的、智慧的、精彩的。我们的时代呼吁创新，我们的教育需要创新，如果我们能注重培养学生勇于探索，善于发现，敢于类比，大胆尝试，刻苦钻研，不断进取的创新精神，我们的教育会大有进步，我们的民族会大有希望。闻 杰简历杭州学军中学数学高级教师，奥林匹克高级教练，高中数学教学 28 年。（从事数学竞赛 10 年）最高学历浙师大教学论研究生，省级骨干教师获得荣誉：全国先进工作者、市优秀教师、教坛新秀、师德百杰、先进工作者、红烛奖、优秀班主任社会职务中国教育学会会员，中国西部教育科学研究中心研究员，清华大学多媒体电子学报特聘专家，