第五章 级数与广义积分5.1 收敛性的讨论一、基本概念与收敛的必要条件1.级数与广义积分收敛性定义（1）设是数列,则称为级数.称为级数的前项部分和.若数列收敛,则称此级数收敛,并称极限值为级数的和.(2)设是定义在上的函数,其中.若对任意,在上可积,且极限存在,则称积分收敛,或在上广义可积,且记.当且在点附近无界时,称为瑕点.当为或瑕点时,称为广义积分.类似可定义为时广义积分的收敛性.设是定义在上的函数,其中,定义,其中.若与都收敛时,称积分收敛,易证上述定义与的选择无关.2.级数收敛的必要条件若级数收敛,则.但是由广义积分收敛,不能推出.例1 存在上广义可积的正值连续函数,使得.解 定义函数如下:当时,;当时, ;当时,.其中取遍任意自然数函数.的图像如图所示再令,则在上连续恒正,且是收敛的,但是.例2设在上一致连续且收敛,证明.证明 由于在上一致连续,当且时, 有.由于收敛,存在,当时, .由于.所以.即.这证明了.例3设在上单调递减非负且收敛,证明.证明 由于收敛, 存在,当时, .又在上单调
