第七章玻耳兹曼统计7.1据公式证明，对于非相对论粒子有。解：边长L的立方体中，粒子能量本征值：，简记为其中是系统体积，常量，并以指标代表三个量子数。从而得：，代入压强公式，有。7.2试根据公式证明，对于相对论粒子，有。解:边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为：用指标表示量子数表示系统的体积，可将上式简记为其中：由此代入压强7.3选择不同的能量零点，粒子第个能级的能量可以取为或。以表示二者之差，试证明相应配分函数存在关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差别.解:当选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为或配分函数，故根据内能的统计表达式：，容易证明根据压强的统计表达式：，容易证明根据熵统计表达式：，容易证明其他热力学函数请自行考虑。7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为，式中PS是粒子处在量子态S的概率，对粒子的所有量子态求和。证明：S态上的平均粒子数为,概率为显然有归一化条件，且粒子的平均能量可以表示为定域系统的熵为：7.5某固体含有A、B两种原子，试证明由于原子在晶
