第三章-一维扩散方程(共8页).doc

第三章 一维扩散方程 本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）；（算子方法，与常微分方程类比）（2）半直线上的扩散方程；（其它非齐次边界等） 对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。3.1全直线上的扩散方程首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在时间内位移转移概率为均值为0，方差为的正态分布。在时刻处于的概率密度记为。则，或因此，。可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：。所以，有如下定理。定理 扩散方程的解为。证 由，易知初始条件成立：。且对函数，直接计算，有，所以，。即但与只差常数倍，故。【end】