第三讲--排序不等式10页.doc

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组及则（同序和）（乱序和）（逆序和）其中是1，2，n的任一排列.当且仅当或时等号（对任一排列）成立.证明：不妨设在乱序和S中时（若，则考虑），且在和S中含有项则 事实上，左右=由此可知，当时，调换（）中与位置（其余不动），所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得如此至多经次调整得顺序和 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当或时中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在及k，使这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”.II应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是 此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到，和平方平均（在统计学