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第九单元 二重积分一、概念与性质 1、定义：设二元函数z=f(x,y)在平面有界闭区域D上有定义，将D任意分成n个小区域第i个小区域的面积也记为在每个小区域上任取一点Pi(xi,yi),当小区域的最大直径时，存在，且极限值与区域D的分法和点Pi(xi,yi)的取法无关，则称这个极限值为f(x,y)在D上的二重积分，记为 2、几何意义：以z=f(x,y)为曲顶，D为底，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 3、物理意义：D为平面薄片，为点（x,y）处的密度时，为平面薄片的质量。 4、二重积分存在定理：如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在。 5、基本性质：设f(x,y)在有界闭区域D上可积，则有： 在D上，若f(x,y)=1，且D的面积为，则有 如果可以用有限条曲线将D分成两个区域D1，D2，则 若在D上有f(x,y)g(x,y),则有 （估值定理）若M,m分别是f(x,y)在D上的最大值和最小值，且为D的面积，则有m M （中