第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、 梅涅劳斯定理定理1 若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P 、Q、R，则BPPCCQQAARRB=1证明：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：BPPCCQQAARRB=hBhChChAhAhB=1。注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例1 若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BFCE。【解析】因为在EBC中，作B的平分线BH，则：EBC=ACK，HBC=ACE，HBC+HCB=ACK+HCB=90，即BHCE，所以EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDAAEEKKFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以FKBCKE，所以BFCE。
