1、1数学整体性教学的探索与反思以“二元一次方程组”为例项 军（浙江省台州市白云学校）摘要：学习应该被视为一个具有内在生成性的自然整体，数学教学可以根据教学内容和学生具体情况采取整体性教学以“二元一次方程组 ”为例，从情境引入、整体感知、类比学习、巩固新知、归纳梳理、分层作业等六个环节展开整体性教学研究. 关键词：二元一次方程组；整体性教学现行的初中数学课堂教学大都按教材编排体系逐步展开，学生按照这种体系学习一个个“点状”知识，虽然学习的难度下降了，但学生很难明白所学知识点在整个单元、整章甚至整个教材中的地位和作用，容易形成“只见树木，不见森林”的学习状况这种“分而习之”不仅会导致学生很难将学到的
2、知识整合成为一个整体，而且学生知识信息提取困难、学习的迁移度较低，难以将其灵活有效地用于解决工作和日常生活中的新问题笔者认为学习应该被视为一个具有内在生成性的自然整体，学习应该是以整体的方式进行，而不是分而习之.因此，数学教学可以根据教学内容和学生具体情况采取整体性教学初中数学整体性教学主要是用整体方法优化数学教学系统的一种教学方法，即教学过程中教师不仅要抓住教学目标和教学要求这一主线，选择知识进行有效串联，将数学知识系统化、整体化地传授给学生，并归入学生头脑中原有的数学认知结构，形成科学完善的数学认知结构；而且教师要整体把握教学方法和手段使学生掌握研究、解决同一类问题的基本思维路径和基本操作
3、方法，促使学生学习能力和思想素养等方面能力有效提升.笔者在借鉴别人先进教学理论的基础上进行了整体性教学的尝试，现整理 “二元一次方程组”一课的课堂实录和反思，与同行共研.一、情境引入(课前播放台州市中学生篮球联赛照片.)师：上课前同学们欣赏了篮球比赛的精彩画面，今天这节课我们就从篮球联赛的积分问题出发学习新的知识，请同学们先来解决第一个问题.情境 1：台州市中学生篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分. 白云队在全部的 10 场比赛中得到 18 分，那么白云队胜了几场，负了几场？学生解答后,教师引导学生复习列一元一次方程解决实际问题的一般过程（板书部分
4、知识结构图） ，并追问一元一次方程中的“元”指的是什么？“次”指的又是什么？然后设问：此题要求的是两个未知量，能否设两个未知数来解决呢？生 1：设白云队胜了 x 场，负了 y 场，根据题意得 x+y=10、2x+y=18，但这两个方程不会解.师：这是我们今天要学习的内容，请同学们先继续解决下面两个问题.情境 2：货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为 千米/小时，依题意可列方程x_.情境 3：完全相同的 4 个正方形的面积之和为 25，求正方形的边长为多少？设正方形的边长为 x，依题意可列方程_.【设
5、计意图】情境 1 从学生身边感兴趣的话题引入，激发学生学习的兴趣. 由同一背景引出一元一次方程和二元一次方程组两种模型，通过对列一元一次方程解决实际问题的一般过程的复习，给二元一次方程组的学习提供类比的素材，让学生作者简介：项军（1976-） ，男，浙江台州人，中学高级教师，主要从事课堂教学实践研究.2初步体验方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型.情境 2 和情境3 把初中教材中与本章知识相互联系的几个知识进行有效整合，使学生把握知识的整体性，完善学生的认知结构.二、整体感知师：同学们刚才列出的这些方程 x+y=10、2x+y=18、 、4x 2=25 是一元一次方程吗？生 齐
6、：不是.师： x+y=10、2x+y=18 这两个方程你认为应该是什么方程？生 2：我认为应该是二元一次方程.师：4x 2=25 这个方程呢？生 3：一元二次方程.师： 这个方程呢？生 4：一元一次方程.生 5：不是，应该是一元分式方程.师：像这样，分母中含有未知数的方程我们都称为分式方程.而 2x+(10-x)=18、x+y=10、2x+y=18、4x 2=25 这些方程左右两边都是整式，我们把它们称为整式方程.从这些实际问题中，我们发现建立的方程不一定都是一元一次方程，也可能是两个二元一次方程，也可能是分式方程或者是一元二次方程，因此我们还要继续研究这些新的方程，初中阶段我们重点就学习这四
7、类方程，今天这节课我们先来学习 8.1 节二元一次方程组（板书） ，八年级我们学习分式方程，九年级将会学习一元二次方程. 【设计意图】教师不能局限于“点”进行备课，应该意识到数学是一个有机整体，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识，如“二元一次方程” 、 “一元二次方程”等概念，与“一元一次方程”的概念有密切的联系，撇开“一元一次方程”的概念而单讲后者，学生难免感到概念模糊，难以辨认，此时，只有将“一元一次方程”的概念与“二元一次方程” 、 “一元二次方程”对照给出，才能讲透什么是“几元” ，什么是“几次” ，让学生经历“再创造”后从整体上对学习内容有初步的感悟和体验.三、类比学习师：
8、刚才我们已经回顾一元一次方程的整章学习过程，而本章要学习的二元一次方程组从结构上看它们都是整式方程，因此我们可以通过概念和学习过程的比较进行本章的学习，这是学习新知识的一种重要的思想方法，我们称作类比思想.类比思想就是将我们要学习的新知识和已经学习的相近的旧知识作一个比较，通过比较获取新的概念、新的方法、新的性质等的一种思想方法.你认为这一章我们按怎样的顺序展开学习呢？学生回答后，教师补充完整：本章中我们也从实际问题谈起，认识二元一次方程组，学会解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题，在二元一次方程组的基础上学习三元一次方程组及其解法.通过本章的学习，希望同学们对方程与方
9、程组有新的认识.今后我们学习分式方程、一元二次方程也可以利用类比思想，通过这样一种路径进行学习.【设计意图】引导学生用类比的学习方法建构本章节的知识框架，学会一种探索新知的方法.通过比较分析，使学生能够进行知识的迁移，同化新知识，主动将其纳入自己的知识体系中，实现知识与方法的整体构建.师：请同学们观察 x+y=10、2x+y=18 的特征，我们如何给二元一次方程下个定义？生 6：含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.（教师板书.）0x035x3师：生 6通过类比得出二元一次方程的定义，这样定义完整了吗？大家有不同的意见吗 ？生 齐 ：没有！师：请同学们思考方程 xy+2
10、x=1 是二元一次方程吗？生 7：是.师：有不同意见吗？生 8：我认为它应该是二元二次方程.师：为什么呢？生 8：因为 xy 这一项的指数为 2 次，所以它应该是二元二次方程.师：很好！那你认为刚才得出的定义完整了吗？生 8：不完整，应改成“含有未知数的项的次数都是一次的方程”.师：很好！我们把含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.（教师修改板书）.师：定义中的关键词有哪些？生 9：两个未知数、项的次数、一次.师：请同学们根据我们得出的定义判断下列各式是不是二元一次方程.1 xy+2y=1； ； ； ；x 2-y=3.【设计意图】引导学生通过观察、思考、归纳和概
11、括得出概念，突出数学概念的形成过程，使学生较好地认识数学概念的本质，注重学生获取知识的过程和采用的方法.师：得出二元一次方程的定义，接下来我们研究什么？生 10：二元一次方程的解.师：满足方程 x+y=10，且符合实际意义的 x、y 的值有哪些？请同学们把它一一列举出来.生 11：x=1,y=9；x=2,y=8；x=9,y=1.师：还有吗？生 12：还有 x=0,y=10；x=10,y=0.师：你能解释一下 x=0,y=10；x=10,y=0 表示的实际意义吗？生 12: x=0,y=10 表示白云队胜了 0 场，负了 10 场；x=10,y=0 表示白云队胜了 10 场，负了 0 场.师：解
12、释得真好！同学们刚才都用直接列举法得出 x、y 的值，我们也可以采用列表法得出 x、y 的值.（教师用课件出示表格）从表格中，我们发现每一对 x、y 的值都能使方程左右两边的值相等，因此我们把使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.因为是一对未知数的值，所以我们还要给每对值加上大括号.师：若不考虑实际意义，满足方程 x+y=10 的解还有吗？有多少组？生 13：还有，有无数组.例如 x=1.1，y=8.9；x=1.2，y=8.8；师：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？生 14：一元一次方程的解只有一个，二元一次方程的解有无数个.生 15：一元一次方程的解是
13、一个未知数的值，而二元一次方程的解都是一对未知数的值.【设计意图】充分发挥学生自主学习的能力，培养探究精神和良好的思维品质，引导学生初步体会二元一次方程的解是成对出现的，二元一次方程的解有无数个.师：得出这 11 组解，我们能否就确定白云队在这次比赛中胜了几场，负了几场？生 齐 ：不能.师：为什么？023baxy14生 16：因为这些解还要满足第二个方程 2x+y=18.师：在这个实际问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数 x 和 y 必须同时满足x+y=10 和 2x+y=18 这两个方程，我们把这样的两个方程合在一起，添上大括号，就组成一个二元一次方程组.现在我们要求出白云队在这次
14、比赛中胜了几场，负了几场，接下来该怎么办？生 17：把这 11 组解一一代入方程 2x+y=18 进行检验.师：请同学们仔细验算，满足方程 2x+y=18 的解有几组？生 18：通过验算，只有 满足方程 2x+y=18.师： 既满足方程 x+y=10，又满足方程 2x+y=18，也就是两个方程的公共解，我们把称作二元一次方程组 的解.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【设计意图】让学生亲自体验二元一次方程组的解的意义，有效突破本节课的难点.四、巩固新知例 下列各对数值中是二元一次方程 x+2y=2 的解的是_. ； ； ； . 02yx10yx解析：将、中各对
15、数值逐一代入方程检验是否满足方程，选、.变式 1：上面各对数值中是二元一次方程组 的解的是_.变式 2：试写出其中一个解为 的一个二元一次方程.变式 3：试写出解为 的一个二元一次方程组.【设计意图】本例先检验二元一次方程的解，再通过变式 1 检验二元一次方程组的解，遵循从简单到复杂的认知规律，使学生更深刻地了解二元一次方程组的解的概念.变式 2、变式 3 加强学生对概念的理解.五、知识梳理师：请同学们回顾归纳一下本节课的收获与感受？生 19：本节课我知道了二元一次方程和二元一次方程的解的定义，还有二元一次方程组及二元一次方程组的解的定义.生 20：我还知道了什么是分式方程，什么是一元二次方程
16、.生 21：我还知道了类比的思想方法，今后学习分式方程、一元二次方程都可以按照一元一次方程的学习过程展开学习.师：今天这节课我们通过类比学习，从实际问题出发，通过设未知数列方程组把实际问题转化为数学问题（二元一次方程组） ，我们先学习了二元一次方程的定义，然后学习了二元一次方程的解的定义，最后学习二元一次方程组及二元一次方程组的解的定义.同学们今后对于每一章节的学习都要养成一个习惯，把所学的知识整理成一个知识结构图，它可以帮助我们理清知识点横向发展的先后顺序，当然不要遗忘思想方法，思想方法是加深知识点纵向之间联系28yx28yx102yxy5的纽带，例如今后学习分式方程、一元二次方程都可以通过
17、类比，按照这样一种路径展开学习.【设计意图】教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更重要的是培养学生的学习习惯，提高他们的学习能力，完善他们的认知结构.师：本节课你还有哪些困惑吗？生 22：二元一次方程组的求解过程太烦琐了.师：那你有更简洁的解法吗？生 22：没有.师：同学们观察板书上我们列出的两种解法中，二元一次方程组 和一元一次方程 2x+（10-x）=18 之间有关系吗？生 23：把 x+y=10 中的 x 移到方程右边，再把 y=10-x 代入 2x+y=18 就可得到 2x+（10-x）=18.师：你观察得很仔细，那你能不用列举法求出方程组的解吗？生 23：（沉思了一会儿）求出一元一次方
18、程 2x+（10-x）=18 的解，再代入 x+y=10 就可以.师：真棒！这就是我们下节课要学习的二元一次方程组的一种解法-代入消元法.还有其他困惑吗？（学生沉默.）师：老师还有个困惑：如果不考虑实际意义，方程 x+y=10 有无数个解，而方程 2x+y=18也有无数个解，那么它们的公共解只有一个吗？(学生又开始小声讨论起来，此时下课铃声响了.)师：请同学们通过今天的作业帮老师解决这个困惑.【设计意图】勤于总结、善于反思是能力提高的“快车道” ，同时为下节课的代入消元法的学习埋下伏笔.六、分层作业(1)必做题：整理本节课的知识结构图，摘入笔记本.教材 94 页练习和 95 页练习 1、2、3
19、、4.(2)选做题：教材 95 页练习 5.在平面直角坐标系中分别以方程 x+y=10 和方程 2x+y=18 的一些解为横、纵坐标描出这些点，运用你所学的知识能否说明方程组 只有一组解？【设计意图】分层次布置作业，让学有余力的学生适当拓展，着实地解决 “吃好”与“吃饱”的关系，体现不同的人在数学上有不同发展的理念.七、教学反思初中数学整体性教学主要是用整体方法优化数学教学系统的一种教学方法.教学中教师不仅要整体把握教学内容，剖析知识的纵横联系，带领学生站在一定的高度从整体上把握数学教材，使学生理清知识的脉络，形成科学完善的数学认知结构；而且教师要整体把握教学方法和手段，使学生掌握研究、解决同
20、一类问题的基本思维路径和基本操作方法，发展学生的思维能力，最终使学生能把知识、方法和技能“内化”成为一个整体，促进学生有意义的学习，从而形成解决实际问题的综合能力.本节课的“整体性”主要体现在以下 2 个方面：1.知识内容考虑到学生通过一元一次方程的学习，对方程有了一定的认识，会解一元一次方程，会用80yx1820yx6一元一次方程解决实际问题，有了建立数学模型的初步意识.因此设计三个情境，引出二元一次方程（组） 、分式方程和一元二次方程，使学生能够根据知识之间的关联作简单、有效、深刻的记忆，使学生的信息组织能力、知识储存方式不再是散点状的，而是链状、网状或立体结构状的，使学生能建立知识之间的
21、联系，使之在“内化”过程中成为一个有机的整体结构.2.教学方法本节课先让学生回顾一元一次方程的整章学习过程，通过类比迁移到本章也可以按照这样的基本套路展开学习：从实际问题谈起，认识二元一次方程（组） ，学会解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题.学生在小结中谈到今后学习分式方程、一元二次方程也可以通过这样一种路径进行学习，从而实现知识与方法的整体构建.逐步向学生渗透一种长远的学习方法.例如学习一次函数后，反比例函数、二次函数及高中的指数函数、对数函数等都可以类比一次函数的研究路径进行研究；学习三角形后，四边形也可按三角形的研究路径进行研究,等等.“教学永远是一门遗憾的艺术”，笔者也仅是对初中数学整体性教学在课堂上做了些初步的尝试，还需进一步实践与改进，使整体性教学能够在教学中得到真实、有效地落实.参考文献：1 冯锐，刘丽丽.整体论视域下的教学设计探讨J.开放教育研究，2009（8）：69-73.2 雷玲.中学数学名师教学艺术M.上海：华东师范大学出版社，2007.3 朱先东.基于整体思想的数学教学设计 J. 中学数学教学参考（中旬刊），20012（4）：2-5.
