第四章 整环里的因子分解4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:不是任何元的真因子.注 这里的是指整环的零元,“任何元”是指整环中的任何元. 证明 由于不能整除整环中的非零元,因此不是整环中的非零元的真因子.虽然整除,但与相伴,因此不是的真因子.所以不是整环中任何元的真因子.2.找出Gauss整数环的所有单位.解 假设,使得是中的单位,则存在,使得,从而,.由此可见,.所以就是中的所有单位.3.证明:在Gauss整数环中,是不可约元,是可约元.证明 显然,和既不是零元,也不是单位.设,使得.于是.显然.因此或,从而,是单位或是单位.所以是不可约元. 由可知,和都是的真因子.所以是可约元.4.设是整环,直接证明:.证明 由于是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),.因此存在,使得,.5.设是整环的素元,(),证明:至少存在一个(),使.证明 我们用数学归纳法来证明.当时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当()时,结论成立.当时,根据
