算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的，表现了两类平均数：和之间恒定的不等关系。设为个正，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正，总有：等号成立。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是之的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在的情况，设:， 那么.可见。历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，最早给出了一般情况的证明，用的是，然而这个证明并不严谨，是错误的。柯西的证明，法国数学家在他的著作中给出了一个使用的证明：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，那么由于成立，。但是，
