1、新课标高考立体几何线面角的计算归类分析深圳市第二实验学校 李平作者简介李平，男，1970 年 12 月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。摘 要 求 线 面 角 的 基 本 思 想 方 法 是 将 空 间 角 的 计 算 转 化 为 计 算 平 面 内 的 角 , 然 后再 用 代 数 、 三 角 的 方 法 求 解 ， 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几
2、何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词 线 面 角 空 间 角 平移法 等 体 积 法 空 间 向 量 方 法线面角直线和平面所成的角1 定 义 : 平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 锐 角 , 叫 做 这 条 斜 线 和 这个 平 面 所 成 的 角 .若 直 线 平 面 , 则 与 所 成 角 为 ;ll90若 直 线 平 面 或 直 线 平 面 , 则 与 所 成 角 为 ./l02 线 面 角 的 范 围 : .02，3 线 面 角 的 求 法
3、：(1)定 义 法 (垂 线 法 )(2)虚 拟 法 (等 体 积 法 ). (3)平 移 法 (4)向 量 法 .线 面 角 是 立 体 几 何 中 的 一 个 重 要 概 念 , 它 是 空 间 图 形 的 一 个 突 出 的 量 化 指 标 , 是 空 间 位 置 关 系 的 具 体 体 现 , 是 培 养 学 生 逻 辑 推 理 能 力 , 树 立 空 间 观 念 的 重 要 途 径 , 故 线 面 角 一 直 以 高 频 率 的 姿 态 出 现 在 历 年 高 考 试 题 中 .求 解 线 面 角 问 题 一 般 遵 循 (找 )、 证 、 算 三 个 步 骤 , 并 多 以 棱 锥
4、 与 棱 柱 作 为 考 查 的载 体 . 求 解 线 面 角 的 方 法 主 要 有 两 种 : 一 是 利 用 传 统 几 何 方 法 ; 二 是 利 用 空 间 向 量方 法 . 总 之 , 求 线 面 角 的 基 本 思 想 方 法 是 将 空 间 角 的 计 算 转 化 为 计 算 平 面 内 的 角 , 然后 再 用 代 数 、 三 角 的 方 法 求 解 , 这 种 将 空 间 问 题 向 平 面 问 题 转 化 的 思 想 方 法 , 是 立体 几 何 中 十 分 重 要 的 思 想 方 法 , 同 时 它 也 体 现 了 等 价 转 化 、 数 形 结 合 的 思 想 , 充
5、 分地 展 示 了 平 移 法 、 射 影 法 、 补 形 法 这 些 立 体 几 何 特 有 方 法 的 威 力 .本 作 者 试 就 这 一 热 点 作 一 比 较 系 统 的 归 类 与 分 析 .希 望 对 同 学 们 进 行 有 针 对 性 的训 练 和 复 习 有 一 定 的 帮 助 .例题分析(1)定义法(垂线法): 斜 线 与 它 在 平 面 内 的 射 影 所 成 的 角 , 即 为 线 面 角 ； 解 决 该 类问 题 的 关 键 是 找 出 斜 线 在 平 面 上 的 射 影 ， 然 后 将 直 线 与 平 面 所 成 的 角 转 化 为 直 线 与 直 线所 成 的 角
6、 ， 在 某 一 直 角 三 角 形 内 求 解 例 12011天 津 卷 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ADC 45， AD AC 1， O 为 AC 的 中 点 ， PO 平 面 ABCD， PO 2， M 为 PD 的 中 点 (1)证 明 PB 平 面 ACM；(2)证 明 AD 平 面 PAC；(3)求 直 线 AM 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 正 切 值 证 明 ： (1)连 接 BD， MO.在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 因 为 O 为 AC 的 中 点 ，所 以 O 为 BD 的 中 点 又
7、 M 为 PD 的 中 点 ， 所 以 PB MO.因 为 PB平 面 ACM， MO 平 面 ACM， 所 以 PB 平 面 ACM.(2)因 为 ADC 45， 且 AD AC 1，所 以 DAC 90， 即 AD AC.又 PO 平 面 ABCD， AD平 面 ABCD， 所 以 PO AD.而 AC PO O， 所 以 AD 平 面 PAC.(3)取 DO 中 点 N， 连 接 MN， AN.因 为 M 为 PD 的 中 点 ， 所 以 MN PO， 且 MN PO 1.由 PO 平 面 ABCD， 得 MN 平 面 ABCD， MAN 是 直 线 AM 与 平 面 ABCD 所 成
8、的 角 在 Rt DAO 中 ， AD 1， AO ， 所 以 DO .从 而 AN DO .在 Rt ANM 中 ， tan MAN ，即 直 线 AM 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 正 切 值 为 .【点评】 求线面角, 解题时要明确线面角的范围, 利用转化思想, 将其转化为一个平面内的角, 通过解三角形来解决. 求解的关键是作出垂线, 即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线. 有时也可采用间接法和空间向量法, 借助公式直接求解.(2)虚 拟 法 (等 体 积 法 )： 线 面 角 的 求 法 还 可 以 不 用 做 出平 面 角 可 求 出 线 上 某 点 到平 面 的 距 离
9、 ， 利 用 可 求 . 即 先 运 用 等 积 法 求dsindAB点 到 平 面 的 距 离 ， 后 虚 拟 直 角 三 角 形 求 解 . 例 22011全国卷 如图，四棱锥 中， SABCD, ，侧面 为等边三角形， /ABCDS2,1S（I） 证明： 平面 ；SDAB（II）求 与平面 所成的角的大小C（I）证明：取 的中点 ，连接 ， ，ED， ， ， ./AB21C ， ， .E90 四边形 是矩形 , .DC又 , , .1SSA , ，即 .90A90DSA同理可证: , 又 , 平面 .BDSB（II）解: 线面角的求法还可以不用作出平面角,可求出线上某点到平面的距离 ,利
10、用d可求,故只需求点 到面 的距离 即可.sindASCd由等积转化思想可知， ， .SBCVDSABDV设点 到面 的距离为 ,点 到面 的距离为 .ASdh由（I）问可知, 平面 , .D13DSABS又 , .1sin602SAB122E由式可知, ,即 , .133SABABDh13h3又 平面 , , 又 , ./CSD , 又知 ,222SCD2S , .2cos 4CS 7sin4BC , 117sin2SBCB又 .2A由式可知, ,即 , .13SBCABCdh17323d17d由 可得, .sinA2sin7d【点评】 以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想，思路自然，
11、属常规通法，是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法(3)平 移 法 ： 通 过 三 角 形 的 中 位 线 或 平 行 四 边 形 的 对 边 平 移 ， 计 算 其 平 行 线 与 平 面所 成 的 角 ， 也 可 平 移 平 面 例 3 2010山 东 卷 如图，在五棱锥 P-ABCDE中， 平面 ABCDE，ABCD，PAACED，AEBC， ，三角形 PAB是等腰三角4524ABCBCE， ，E形（）求证：平面 PCD 平面 PAC；（）求直线 PB与平面 PCD所成角的大小解 ： （ ） 证 明 ： 因 为 ABC=45， AB=2 ， BC=4，所 以 在 中 ， 由 余 弦 定 理
12、 得 ：，22AC=()+4-cos8解 得 ， 所 以 ，22+16即 ， 又 PA 平 面 ABCDE， 所 以 PA ，BB又 PA ， 所 以 ，平 面又 AB CD， 所 以 ，平 面又 因 为 ， 所 以 平 面 PCD 平 面平 面PAC；解 法 一 （ 平 移 直 线 法 ） ： 延 长 线 段 AE， CD，相 交 于 点 H， 连 结 PH， 构 成 四 棱 锥 P-ABCH，如 图 所 示 .连 结 BH 交 AC 于 点 M， 取 PH 中 点 N，则 MN PB， 所 以 直 线 PB 与 平 面 PCD 所 成 的 角就 是 直 线 MN 与 平 面 PCH 所 成
13、 的 角 .过 点 M 作 MG PC 于 点 G， 因 为 平 面 PCD 平 面 PAC，所 以 MG 平 面 PCH， 所 以 MNG 就 是 直 线 MN 与 平 面 PCH 所 成 的 角 ，即 直 线 PB 与 平 面 PCD 所 成 的 角 .取 PC 的 中 点 F， 连 结 AF， 由 （ 1） 知 PA=AC= ，2所 以 AF PC， 因 为 平 面 PCD 平 面 PAC， 所 以 AF 平 面 PCH.又 因 为 MG 平 面 PCE， M 为 线 段 AC 的 中 点 ， 所 以 G 为 线 段 FC 的 中 点 ，所 以 MG= AF=1， MN= PB=2， 所
14、 以 sin MNG= = ， 所 以 MNG= ，2 16即 直 线 PB 与 平 面 PCD 所 成 角 的 大 小 为 .6解 法 二 （ 平 移 平 面 法 ） ： 如 图 ， 构 造 三 棱 柱 .取 PC 的 中 点 F， 连 结 AF，PAB由 （ 1） 知 PA=AC= ， 所 以 AF PC，2因 为 平 面 PCD 平 面 PAC， 所 以 AF 平 面 PCD.过 点 B 作 点 ， 所 以 平 面FBPCD. 连 结 ， 则 就 是 PB 在 平 面 PCD 上 的 射 影 ， BPF 就 是 直 线 PB 与 平 面 PCD 所 成 的 角 .因 为 sin BPF
15、= ，12A所 以 BPF = ， 即 直 线 PB 与 平 面 PCD 所 成 角 的 大 小 为 .66【点评】 利 用 平 行 线 与 平 面 所 成 的 角 的 相 等 性 ， 通 过 补 充 图 形 ， 完 成 合 理 转 化 .(4)向 量 法 : 设 平 面 的 法 向 量 为 , 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 , 则nABDCBAEP.即 利 用 平 面 的 法 向 量 将 线 面 角 问 题 转 化 为 两 个 向 量 的 夹 角 问 题 , sinAB 可 避 免 作 角 这 一 步 骤 , 从 而 降 低 了 求 解 的 难 度 .例 4 2007全 国 卷 四
16、 棱 锥 中 ， 底 面 为 平 行 四 边 形 ， 侧 面SABCDAB底 面 已 知 ， ， ， SBCAD45 23SB（ ） 证 明 ；（ ） 求 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 S解 ： （ ） 作 ， 垂 足 为 ， 连 结 ，OBC O由 侧 面 底 面 ， 得 平 S面 A因 为 ， 所 以 SA又 ， 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 45 AB如 图 ， 以 为 坐 标 原 点 ， 为 轴 正 向 ，x建 立 直 角 坐 标 系 ， ，Oyz(20)， ， ， ，(02)B， ， ()C， ， 1S， ， ，1SA， ， B， ， 所 以 A（ ） 取 中
17、 点 ， ， 连 结E20， ， 取 中 点 ， 连 结 ， ，SEGO214， ， 214OG， ， 21， ， (0)AB， ， ， 与 平 面 内 两 条 相 交 直 线 ， 垂 直 0SOASABSEAB所 以 平 面 ， 与 的 夹 角 记 为 ， 与 平 面 所 成 的 角 记 为 ，SDD则 与 互 余 ， ，(20)， ， (21)， ， 2cos1OG， 所 以 ， 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 sin1SAB【点评】 即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题, 可避免作角这一步骤, 从而降低了求解的难度.参考文献：1张健2011 年高考数学试题分类解析（八）立体几何中国数学教育，2011(7-8)； 2何小亚2011 年广东高考立体几何大题分析.中学数学月刊，2011(8)； 3赵建勋. 高考立体几何试题分类研究中学数学研究，2003(3)。 DBCAS
