函数的幂级数展开式及其应用3页.doc

函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ， 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.