1、智浪教育-普惠英才文库12014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1已知 为整数，且满足 ，则 的可能的值有（ ）,xy2411()()3xyxyxyA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答】 C.由已知等式得 ，显然 均不为 0，所以 0 或 .423xyxy,xyxy32()xy若 ，则 .又 为整数，可求得 或 所以32()y(), 12,， .，或 .1x因此， 的可能的值有 3 个.y2已知非负实数 满足 ，则 的最大值为 （ ）,xz1yz2txyzA B C D475996125【答】 A. 2122()
2、2()()4txyzxyzxyzz，1()47373易知：当 ， 时， 取得最大值 .37xyztxyz73在 中， ， 为 的中点， 于 ，交 于 ，已知 ，ABCDBCEACDP3B，则 （ 1PE）A B C D62236【答】 B.因为 ， ，所以 四点共圆，所以 ，又DCEA,PDE12BCPE，所以 ，所以 .263又易知 ，所以 ，从而可得 .PBP623ADP智浪教育-普惠英才文库246 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A B C D12534【答】 B.若取出的 3 张卡片
3、上的数字互不相同，有 2228 种取法；若取出的 3 张卡片上的数字有相同的，有 3412 种取法.所以，从 6 张不同的卡片中取出 3 张，共有 81220 种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4） ， （4，4，6） ， （2，6，6） ，（4，6，6） ，由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有 428 种.因此，所求概率为 .2055设 表示不超过实数 的最大整数，令 .已知实数 满足 ，则ttttx3181x（ ）A B C D12351(35)2【答】 D.设 ，则 ，所以1xa32 221(
4、)()3()xxxa，因式分解得 ，所以 .2(3)8a360aa由 解得 ，显然 ，所以 1.x(5)2x1,x1x6在 中， ， ， ， 在 上， 在 上，使得 为ABC90ACDBEADE等腰直角三角形, ,则 的长为 （ ）DEBA B C D 433(31)231【答】 A.过 作 于 ，易知 ， .FFEBC设 ，则 ， ， ，Ex2xAEx()x，故 ，即 .又 ，故1DAC2(1)4101可得 .23x故 .4BE二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知实数 满足 ， ，则 _,abc1c11abcacbac【答】 0.FEBCAD智浪教育-普惠英才文库3由题意
5、知 ，所以1122cab()()()12()12()abcacabc整理得 ，所以 0.82使得不等式 对唯一的整数 成立的最大正整数 为 9175nkkn【答】144.由条件得 ，由 的唯一性，得 且 ，所以8178n9，所以 .2972kn4当 时，由 可得 ， 可取唯一整数值 127.148kn162k故满足条件的正整数 的最大值为 144.3已知 为等腰 内一点， ， ， 为 的中点， 与 交于PABCBC108PDACBDPC点 ，如果点 为 的内心，则 EEA【答】 .48由题意可得 ，DE而 ，180所以 ，6从而可得 .3PCA又 ，所以 ，从而 .108B2B24AB所以 ，
6、9246D，1()(30)18EE所以 .84已知正整数 满足: ， ， ，则 ,abc1abc2bac【答】36.设 的最大公约数为 ， ， ， 均为正整数且 ， ，则,c(,)d11d1,1(,)c1ac，所以 ，从而 ，设 （ 为正整数） ，则有 ，而 ，221bad2|b|b2b(,)所以 均为完全平方数，设 ，则 ， 均为正整数，且 ， .1,c211,amcn1m,n,mn又 ，故 ，即 .()d2()1d注意到 ，所以 或 .227mn3若 ，则 ，验算可知只有 满足等式，此时 ，不符合题意，1d1,0mn1aEDABPC智浪教育-普惠英才文库4故舍去.若 ，则 ，验算可知只有
7、满足等式，此时 ，3d237mn3,4mn27,36,48abc符合题意.因此，所求的 .6b第二试 一、 （本题满分 20 分）设实数 满足 ， ，求 的,ab2(1)(2)40ba(1)8b21ab值解 由已知条件可得 ， .22()40()8a设 ， ，则有 ， ， abxyxyxy联立解得 或 . (,)2,6(,)6,2若 ，即 ， ，则 是一元二次方程 的两根，但这个方xyab,ab260t程的判别式 ，没有实数根； 2()40若 ，即 ， ，则 是一元二次方程 的两根，这个方程,6,xy62,2t的判别式 ，它有实数根.所以2()8. 22221()8abab二 （本题满分 25
8、 分）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，且满足ABCDEBD, 的延长线与 的外接圆交于点 . 证明： ECDAB FEAF证明 由 是平行四边形及已知条件知 .CBD又 A、B、F、 D 四点共圆，所以 ，所以 ， EC所以 . 又 ，所以 ，故BAFEDAF. FCABE智浪教育-普惠英才文库5三 （本题满分 25 分）设 是整数，如果存在整数 满足 ，则称 具有n,xyz33nxyzxn性质 .在 1， 5，2013，2014 这四个数中，哪些数具有性质 ，哪些数不具有性质 ？并说明理由.P PP解 取 ， ，可得 ，所以 1 具有性质 .x0yz331010取 ， ，可得 ，
9、所以 5 具有性质 .2522为了一般地判断哪些数具有性质 ，记 ，则P33(,)fxyzzxy3(,)()()fxyzzxy3()zxyz 3()()()xyzxy2212zyzx.2()()()xyz即 ,f 2()xyzyzx不妨设 ，如果 ，即 ，则有 ；1,0,1xyzx,xzy(,)31fxyz如果 ，即 ，则有 ；12如果 ，即 ，则有 ；,2xyzx2,xzy(,)9()fxyz由此可知，形如 或 或 （ 为整数）的数都具有性质 .31k9kP因此，1，5 和 2014 都具有性质 . P若 2013 具有性质 ，则存在整数 使得 .注意,xyz3013()()()xyzxyzzx到 ，从而可得 ，故 ，于是有3|203|()x|()智浪教育-普惠英才文库5，即 ，但 201392236，矛盾，所以 2013 不具有39|()()()xyzxyzzx9|2013性质 . P
