初等数论-第七章--原-根(共10页).doc

第七章 原 根原根是数论的理论和应用中一个很重要的概念。本章要介绍原根以及与它有关的基本知识。第一节 指数及其基本性质定义1 设m 1，(a, m) = 1，则使a r 1 (mod m) (1)成立的最小的正整数r，称为a对模m的指数，记为dm(a)，在不致误会的情况下，简记为d(a)。由Euler定理，当r = j(m)时式(1)成立，因此，恒有dm(a) j(m)。若a b (mod m)，(a, m) = 1，则显然有dm(a) = dm(b)。定义2 若dm(a) = j(m)，则称a是模m的原根。例如，当m = 7时，因为21 2，22 4，23 1 (mod 7)，所以d7(2) = 3。又因为31 3，32 2，33 6，34 4，35 5，36 1 (mod 7)，所以d7(3) = 6 = j(7)，3是模7的原根。以后，在谈到a对模m的指数时，总假定m 1，(a, m) = 1。定理1 记d = d