1、- 1 -2014 学年九年级数学竞赛试卷一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1已知 a、b、c 是两两不相等的实数则方程（xa）（xb）+（xb）（x c）+（xc）（x a）=0 根的情况为（ ）（A）必有两个不相等的实根 （B）没有实根（C）必有两个相等的实根 （D）方程的根有可能取值 a、b、c2已知 ， ，且 =8，则 a 的值等于21mn )763)(147(22nam（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 3Rt ABC 的三个顶点 A， B，C 均在抛物线 上，并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜2xy边上的高为 h，则（ ）（A）h24钟面上的 112 这 12
2、个数字把圆周 12 等分，以其中任意 4 个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A）10 个 （B）14 个 （C）15 个 （D）30 个5在ABC 中，AB 0，所以，方程必有两个不相等的实根2、解：由已知可得 ， 又 =8，12m12n)763)(147(22nam所以 解得 a=9 故选 C8)73(3、解：设点 A 的坐标为（a，a 2），点 C 的坐标为（c ，c 2）（|c|12()4(1)0bca当 a1 时， = 622()70又当 时，由，得 ， 214ca5将两边平方，结合得 222(164)()aa化简得 ， 324805a故 ，(65)- 8 -解得 ，或
3、56a124所以，a 的取值范围为 a1 且 ， 56124a解法二：因为 ， ，22cb25bc所以 ，2 2()164(5)484(1)aaaa所以 又 ，2()bcbc所以 ， 为一元二次方程 22(1)450xaxa的两个不相等实数根，故 ，所以 a124(1)(45)0a当 a1 时， = 462acb2()70另外，当 时，由式有 ，2145aa即 或 ，解得， 或 2450a650a6当 时，同理可得 或 c124所以，a 的取值范围为 a1 且 ，56a14、解：（1）由 B（0，4）得，c=4 G 与 x 轴的交点 A（ ，0），2ba由条件 ，得 ，所以 = ，即 A（ ，
4、0）abc2bac所以 解得 所求二次函数的解析式为 4,20.b1,4.24yx（2）设图象 L 的函数解析式为 y= x+b，因图象 L 过点 A（ ，0），3所以 ，即平移后所得一次函数的解析式为 y= 6b 36x令 = ，解得 ， 3x24x125ABDCO xy（第 14 题）- 9 -将它们分别代入 y= ，得 ， 36x10y29所以图象 L 与 G 的另一个交点为 C（ ，9）5如图，过 C 作 CDx 轴于 D，则 SABC =S 梯形 BCDOS ACD S ABO= =15 11(49)539242215解：（1）如图 1，连结 PN，则 PNAB，且 ABPN21 A
5、BF NPF， 2PF BF=2FP （2）如图 2，取 AF 的中点 G，连结 MG，则MGEF，AG=GF= FN SNEF = SMNG = SAMN = SABC 41324132= S216解：（1）设 ， 是 1，2，3，2008 中任意取出的 1007 个数123x， ， 07x首先，将1，2，3，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m ，2009m) ，其中m=1，2 ，3，1004 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为( 互不相等) 均为 ，112233(
6、209)(09)(09)m， ， ， ， ， 123m， ， 123x， ， 中的6个数 其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外) 分成1003对，7x每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008k) ，其中k=1，2，10032006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是 ， 中的4个数，不妨记其中的一对为 123x， ， 107x 11(208)k，又在三对数 ，( 互不相等) 中至12233(09)()(0)mm， ， ， ， ， 13m， ，BACMNPEF（图 1）BACMNPEF（图 2）G- 10 -少存在1对数中的两个数与 中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(208)k， 于是 1(209)m， 1920847mk（2）不成立当 时，不妨从 1，2，2008 中取出后面的 1006 个数：6n1003 ，1004，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于 1003+1004+1005+1006=40184017；当 时，同样从 1，2，2008 中取出后面的 n 个数，其中任何 4 数之106n和大于 1003+1004+1005+1006=40184017 所以 时都不成立
