1、智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 1 页 共 8 页2013 年广州市高二数学竞赛试题2013511考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，满分 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在下列函数中，既是 2,0上的增函数，又是以 为最小正周期的偶函数的函数是A xycos B xysin C D |sin|xycosyx2已知向量 ，其中 ， ，则满足条件的不共线的向(,)a1,452,468量共有A9 个 B12 个 C1
2、3 个 D16 个3在平面直角坐标系 xOy中，设 D是由不等式组 01yx表示的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，若向 E中随机投一点，则所投点落在 D中的概率是A B C D2124已知函数 ，则函数 所有零点的和为2()3fx()gxfxA B0 C2 D4二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分5若直线 与圆 相切，则 * 。32myx28ym526已知集 ， ，且 ，则实3,12aA， 13aaB， AB数 的值等于 * a智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 2 页 共 8 页7已知不等式 2，那么实数 * 1a a2
3、18已知 为三条不同的直线 , 且 ，给出如下命,bc ,aMbNc平 面 平 面题：若 与 b 是异面直线 , 则 c 至少与 , b 中的一条相交；a若 /b, 则必有 /c；若 不垂直于 c, 则 与 b 一定不垂直； a若 b, c, 则必有 .N其中正确的命题的是 （请填上正确命题的序号） 。9定义运算 ，则符合条件 （其中 为虚数单位）的复数di34i1zi* 。z17i210将数列 依原顺序按第 组有 项的要求分组，则 2013 在第 * 组.*()nNn2n10前 组所含项数之和为 ， 2013 是数列的第 1008 项.21由于 ，所以 2013 在第 9 组.9105102
4、8三、解答题：本大题共 5 小题，满分 90 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤11 （本小题满分 15 分）中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，ABCCabc3os5A， 。5sin139c（1）求 的值；ta（2）求 的面积。11.（1） 。2 分24cos,sin1cos55AA ， 为锐角。4 分4in13B。6 分2csiB8 分5ta.o（2） 。10 分sini()sincosinCABA412356， ，得 。139cii527a分智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 3 页 共 8 页。1515290sin2713ABCSac分12
5、 （本小题满分 15 分）如图，己知 中，D， ， 平面 ，90BC1CABCD， 、 分别是 、 上的动点，6AEF且 ()D。（1）求证：不论 为何值，总有平面 平面 ；BEFAC（2）若平面 与平面 所成的二面角的大小为 ，求 的值BC6012.（1）证明：因为 AB平面 ABCD，所以 ABCD。在BCD 中， ，所以 BCCD。90D因为 ABBCB ，所以 CD平面 ABC。3分在ACD 中，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 (01)AEFCD。所以 EFCD，所以 EF平面 ABC。因为 EF平面 BEF，所以平面 BEF平面 ABC。6分（2）解：作 BQCD，由（1）
6、知 CD平面 ABC，所以 BQ平面 ABC。所以 BQBC，BQBE 。因为 BQ 与 CD、EF 共面，平面 BEF平面 BCDBQ，所以CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的平面角为 60。8 分在ABC 内作 EMBC 交 BC 于点 M，由 cos60 12BE，所以 2BMBE。 9 分又 AC，所以 1 。由 MB1 ，在BCD 中， BCD = 900， BCCD1，所以 BD 2，又在 RtABD 中，ADB= 60 0，所以 AB 6，所以，EM 6（1 ） 。 11分智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 4 页 共 8 页又 BMA
7、EC ，且 BC1，所以 BM 。 12分在 Rt 中，由得 4 26（1 ） 2 2。13分即 24 20，解得 2 或 2 。14分因为 ，所以 2 。151分13 （本小题满分 20 分）已知函数 .21()()2ln()fxaxaR（1）若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；yf3a（2）求函数 的单调区间。()x13. 函数 的定义域为 。2f0+，分且 .4 分2()(1)fxax()（1）因为曲线 在 和 处的切线互相平行，yf3所以 。6()3f分即 ，22113aa解得 . 83分（2）因为 . 10 分(1)2)axf(0)x当 时， ， ，0在区间 上， ；在区间
8、上 ，(,2)()f(,)(0fx故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .13 分fx0,22,)当 时， ，102a智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 5 页 共 8 页在区间 和 上， ；在区间 上 ，(0,2)1,a()0fx12,a()0fx故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .16 分fx,21,a12,a当 时，12a因为 ， 故 的单调递增区间是 .18 分2()0xf()fx(0,)当 时， ，1aa在区间 和 上， ；在区间 上 ，0,(2,)()0fx1,2a()0fx故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .20 分()fx1,a2
9、,1,2a14 （本小题满分 20 分）已知 ，点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在直线 上，且满3,0RPyQxMPQ足 ， 。M230（1）当点 在 轴上移动时，求点 的轨迹 的方程；MC（2）设 为轨迹 上两点， ， ， ，若存在实数 ，使AB、 CN（ 1， ） 1Ax0y，且 ，求 的值。N6314.（1）设点 ，(,)Mxy由 ，得 ， 。 423PQ0,2yP,03xQ分由 ，得 。6 分R,yx所以轨迹 的方程为 . 8 分C24(0)（2）由（1）知 为抛物线 ： 的焦点， 为过焦点 的直线与 的两个NyxAB、 NC交点.当直线 斜率不存在时，得 ， ， .10 分A
10、B1,2(,)1643智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 6 页 共 8 页当直线斜率存在且不为 0 时，设 ， 11:(1)ABykx分代入 得 .13 分24yx222()0kx设 ，12(,)(,)ABy则 ，得 。15212 2()4163kxk3k分（或 ）212ABkx。 16 分1,0,3xy此时 。17 分ABx由 得N。19 分134BANx所以存在实数 ，使 ，且 。20 分3BAN163B15 （本小题满分 20 分）设 nS是数列 na的前 项和，且 na是 S和 2的等差中项（1）求数列 的通项公式；（2）当 ij（ ,ij均为正整数）时，求
11、 ia和 j的所有可能的乘积 ija之和 nT；（3）设21*nMNT()，求证： 1324M15.（1） na是 S和 的等差中项， 2， 当 时， 112a，解得 21.当 时，n智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 7 页 共 8 页112nnSa. 得 12naS 2,*nN， 1nn。 2a。 1n.数列 a是首项为 2，公比为 的等比数列， n. 当 时， ，符合上式， 11所以数列 na的通项公式为 。4 分2na*N（2）由 i和 j的所有可能乘积 ijij nj1可构成下表：12， 2， 13， 2， 1， ， n， 2n3， 31， 32n 构造如下 n行 列的数表： 12， 2， 13， 1n， 1n， ， ， 2， 231， 2， 3， 31n， 3n1n， 2， 3n， ， 12n， n 设上表第一行的和为 T，则4n.106 分8 分智浪教育-普惠英才文库2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 8 页 共 8 页分于是 2124221nnnT 12 分4nn.1823 nnnT.14 分（3） 14， 11232342nnnnT。16 分21nMT122334 13114 22nn 1n.18分 123n， 144n.即 132M。 20分
