1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)数学理一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5 分)已知集合 A=x|x2-2x0, ,则( )A.AB= B.AB=RC.B AD.A B解析:集合 A=x|x2-2x0=x|x2 或 x0,AB=x|2x 或- x0,AB=R.答案: B.2.(5 分)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( )A.-4B.C.4D.解析:复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,z= = = = + i,故 z 的虚部等于 ,答案:D.3.(5 分)为了解某地
2、区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样解析:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.答案:C.4.(5 分)已知双曲线 C: 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( )A.B.
3、C.D.y=x解析:已知双曲线 C: 的离心率为 ,故有 = , = ,解得 = .故 C 的渐近线方程为 ,答案:C.5.(5 分)执行程序框图,如果输入的 t-1,3,则输出的 s 属于( )A.-3,4B.-5,2C.-4,3D.-2,5解析:由判断框中的条件为 t1,可得:函数分为两段,即 t1 与 t1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即 t1 时,函数的解析式为:s=4t-t 2故分段函数的解析式为:s= ,如果输入的 t-1,3,画出此分段函数在 t-1,3时的图象,则输出的 s 属于-3,4.答案:A.6.(5 分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容
4、器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( )A.B.C.D.解析:设正方体上底面所在平面截球得小圆 M,则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R-2)cm,而圆 M 的半径为 4,由球的截面圆性质,得 R2=(R-2)2+42,解出 R=5,根据球的体积公式,该球的体积 V= = = .答案:A.7.(5 分)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,S m=0,S m+1=3,则 m=( )A.3B.4C.5D.6解析:a m=S
5、m-Sm-1=2,a m+1=Sm+1-Sm=3,所以公差 d=am+1-am=1,S m= =0,得 a1=-2,所以 am=-2+(m-1)1=2,解得 m=5,答案:C.8.(5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解析:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为 2,母线长为 4.长方体的体积=422=16,半个圆柱的体积= 224=8 所以这个几何体的体积是 16+8;答案:A.9.(5 分)设 m 为正整数,(x+y) 2m展开式的二项式系数的
6、最大值为 a,(x+y) 2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( )A.5B.6C.7D.8解析:m 为正整数,由(x+y) 2m展开式的二项式系数的最大值为 a,以及二项式系数的性质可得 a= ,同理,由(x+y) 2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b,可得 b= = .再由 13a=7b,可得 13 =7 ,即 13 =7 ,即 13=7 ,即 13(m+1)=7(2m+1),解得 m=6,答案:B.10.(5 分)已知椭圆 E: 的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为
7、( )A.B.C.D.解析:设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),代入椭圆方程得 ,相减得 , .x 1+x2=2,y 1+y2=-2, = = . ,化为 a2=2b2,又 c=3= ,解得 a2=18,b 2=9.椭圆 E 的方程为 .答案:D.11.(5 分)已知函数 f(x)= ,若|f(x)|ax,则 a 的取值范围是( )A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0解析:由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,由图象可知:函数 y=ax 的图象为过原点的直线,当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意,直线l 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(
8、x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x,求其导数可得 y=2x-2,因为 x0,故 y-2,故直线 l 的斜率为-2,故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于-2 与 0 之间即可,即 a-2,0答案:D12.(5 分)设A nBnCn的三边长分别为 an,b n,c n,A nBnCn的面积为 Sn,n=1,2,3若b1c 1,b 1+c1=2a1,a n+1=an, , ,则( )A.Sn为递减数列B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S 2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S 2n为递增数列解析:因为 an+1=an, , ,所以 an=a1,所以 bn+1+cn+1=a
9、n+ =a1+ ,所以 bn+1+cn+1-2a1= ,又 b1+c1=2a1,所以 bn+cn=2a1,于是,在A nBnCn中,边长 BnCn=a1为定值,另两边 AnCn、A nBn的长度之和 bn+cn=2a1为定值,因为 bn+1-cn+1= = ,所以 bn-cn=,当 n+时,有 bn-cn0,即 bnc n,于是A nBnCn的边 BnCn的高 hn随着 n 的增大而增大,所以其面积 =为递增数列,答案:B.二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.(5 分)已知两个单位向量 , 的夹角为 60, =t +(1-t) .若 =0,则 t= .解析: , , =0,t
10、cos60+1-t=0,1 =0,解得 t=2.答案:2.14.(5 分)若数列a n的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列a n的通项公式是 an= .解析:当 n=1 时,a 1=S1= ,解得 a1=1当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=( )-( )= ,整理可得 ,即 =-2,故数列a n是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,故 an=1(-2)n-1=(-2)n-1答案:(-2) n-115.(5 分)设当 x= 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cos= .解析:f(x)=sinx-2cosx= ( sinx- cosx)= sin(x-)(其中
11、cos= ,sin= ),x= 时,函数 f(x)取得最大值,sin(-)=1,即 sin-2cos= ,又 sin2+cos 2=1,联立解得 cos=- .答案:-16.(5 分)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大值为 .解析:函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称,f(-1)=f(-3)=0 且 f(1)=f(-5)=0,即1-(-3) 2(-3)2+a(-3)+b=0 且1-(-5) 2(-5)2+a(-5)+b=0,解之得 ,因此,f(x)=(1-x 2)(x2+8x+15)=-x4
12、-8x3-14x2+8x+15,求导数,得 f(x)=-4x3-24x2-28x+8,令 f(x)=0,得 x1=-2- ,x 2=-2,x 3=-2+ ,当 x(-,-2- )时,f(x)0;当 x(-2- ,-2)时,f(x)0; 当 x(-2,-2+ )时,f(x)0; 当 x(-2+ ,+)时,f(x)0,f(x)在区间(-,-2- )、(-2,-2+ )上是增函数,在区间(-2- ,-2)、(-2+ ,+)上是减函数,又f(-2- )=f(-2+ )=16,f(x)的最大值为 16.答案:16三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12 分)如图,在ABC 中,A
13、BC=90, ,BC=1,P 为ABC 内一点,BPC=90()若 ,求 PA;()若APB=150,求 tanPBA.解析:(I)在 RtPBC,利用边角关系即可得到PBC=60,得到PBA=30.在PBA 中,利用余弦定理即可求得 PA.(II)设PBA=,在 RtPBC 中,可得 PB=sin.在PBA 中,由正弦定理得,即 ,化简即可求出.答案:(I)在 RtPBC 中, = ,PBC=60,PBA=30.在PBA 中,由余弦定理得 PA2=PB2+AB2-2PBABcos30= .PA= .(II)设PBA=,在 RtPBC 中,PB=BCcos(90-)=sin.在PBA 中,由正
14、弦定理得 ,即 ,化为 . .18.(12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA 1,BAA 1=60.()证明 ABA 1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.解析:()取 AB 的中点 O,连接 OC,OA 1,A 1B,由已知可证 OA1AB,AB平面 OA1C,进而可得 ABA 1C;()易证 OA,OA 1,OC 两两垂直.以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正向,| |为单位长,建立坐标系,可得 , , 的坐标,设 =(x,y,z)为平面 BB1C1C 的法向量,则 ,可解得 =(
15、 ,1,-1),可求 cos , ,即为所求正弦值.答案:()取 AB 的中点 O,连接 OC,OA 1,A 1B,因为 CA=CB,所以 OCAB,由于 AB=AA1,BAA 1=60,所以AA 1B 为等边三角形,所以OA1AB,又因为 OCOA 1=O,所以 AB平面 OA1C,又 A1C 平面 OA1C,故 ABA 1C.()由()知 OCAB,OA 1AB,又平面 ABC平面 AA1B1B,交线为 AB,所以 OC平面 AA1B1B,故 OA,OA 1,OC 两两垂直.以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正向,| |为单位长,建立如图所示的坐标系,可得 A(1,0,0),A 1(
16、0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 =(1,0, ), =(-1, ,0), =(0,- , ),设 =(x,y,z)为平面 BB1C1C 的法向量,则 ,即 ,可取 y=1,可得 =( ,1,-1),故 cos , = = ,故直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为: .19.(12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其
17、他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为 ,且各件产品是否为优质品相互独立.()求这批产品通过检验的概率;()已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.解析:()设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)(A 2B2),且 A1B1与 A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得;()X 可能的取值为 400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.答案:()设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)(A 2B2),且 A1B1与 A2B2互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= =