异方差与自相关广义线性模型.DOC
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1、1第三章 异方差与自相关广义线性模型本章继续讨论线性模型Y=X +, E ()=0 (3.0.1)所不同在于以前的关于误差方差的假定是Var()= 2In (3.0.2)这一章逐次推广讨论。第一节讨论异方差的存在与检验,尤其是在经济模型资料中的存在与影响,第二节讨论的是已知 (3.0.3)idiagVrn,1,),()(221 未知 (3.0.4)2122,), a, 未知 (3.0.5)exp(),()(21iinZir 这些都是误差方差为对角阵的模型。第三节讨论自相关线性模型。首先讨论的是残差一阶自回归线性模型,它的残差满足(3.0.6)iii1(3.0.7))(,0)(,)(,0)(2j
2、iEEjiii 此时残差 i 的方差虽不为对角阵,但只含一个参数。接着我们介绍自回归条件异方差(ARCH)模型,它的误差假设是(3.0.8)ipiii 22102(3.0.9))(,0)(,)(,)( jEEjiii 因为模型计算中用到了广义矩估计方法(GMM),我们在第四节又介绍了 GMM。第五节讨论的是未知,M 已知22 ,0)(Var(3.0.10)第六节讨论的是未知,M 已知22 ,)(r(3.0.11)所讨论的内容还是各种回归模型、算法及性质。2第一节 异方差的存在与检验一、异方差的存在与影响前面介绍的线性回归模型,都是假定随机误差项 i 独立同分布,有相同的方差 (Homosced
3、asticity)(3.1.1)2)( ,0)(iiVarE但是实际抽样很难保证这一点。经济对象千差万别,可以按不同标准划分成不同的群体。这些群体间的差别导致样本方差不一致,于是就有所谓异方差(Heteroscedasticity):(3.1.2)2)( ,)(iiir反映在散点图上,如下图可以明显看出样本方差与点 (Xi, Yi)有关,随着样本数值增大而增大。图 3.1.1.1由于样本方差的差异,原来最小二乘估计的一些优良性质不再存在。如在一元线性回归(3.1.3)niXYii ,1 ,10我们知道最小二乘估计(3.1.4)niiXinjii iiXY YSXYS1121 )((3.1.5)
4、ni iXi10 )(3于是(3.1.6))()()(21iniXi YVarSVar(3.1.7))()( 210 ini Xi现在 Var(Yi)不是常量,我们就无法证明 是最小方差线性无偏估计。显著性检验也成了0,问题。原来构造的 F 统计量是分子分母都含有未知参数 2, 可以分别提取公因式再约去,现在是异方差,按原来方法构造的 F 统计量里的未知参数无法直接约去,预测精度也无法保证。差不多原来推导的各种统计方法、统计性质由于基础动摇而都需重新考虑。因此我们需要将一般线性回归模型推广。 不过在推广之前,首先要解决异方差的检验问题。二、异方差的检验异方差的检验一般需要比较大的样本,一般都是
5、作所谓残差分析。图 3.1.2.1最简单直观的方法是将残差平方2eY Y2e2e 2eYY4(3.1.8)niYeiii ,1 ,)(22与 画在一张图上,大致可以看出残差是否发生改变。图 3.1.2.1 除了第 1 个图外,其余图像iY都指示有异方差。还有一些方法对异方差问题作统计检验。1. Park 检验R. E. Park 建议将 看作解释变量 X 的函数,并使用函数形式为2i(3.1.9)iei2或取对数 iii lnlln22其中 是随机分布项。因为 未知,就用残差项的平方 代替ii2ieiii Xell22对上式作回归,并作假设检验。若 =0 成立,则认为异方差不成立;若 0 成立
6、,则认为异方差成立。Park 检验要作两次最小二乘,第一次是对原始资料对( Xi, Yi), 获得 ;第二次是对(ie,)。从某种意义上讲,是用第二次最小二乘去否定第一次最小二乘,用第二次假设去否2,ieX定第一次假设。类似的还有 Glejser 检验,不过使用的回归方程不一样。2. Breusch Pagan Godfrey (BPG)检验这里考虑的是多元问题,基本思想差不多。设原始资料满足模型 imiii XY10(3.1.10)先用普通最小二乘获得 ,作ie,niiini Ye12122 )((3.1.11)注意这里不是 。然后定义变量niiiYm122)(52/iiep(3.1.12)
7、用 pi 与 Xji 去作回归 imiii X10(3.1.13)而获得回归平方和 SES, 定义统计量 niiiESp12)(2(3.1.14)可以证明在正态假设下,当样本容量充分大时, 有渐近分布:)(,21nm(3.1.15)于是对给定显著性水平,当 超过 分布的临界值时,就拒绝同方差假设,接受异方差假2设。算例 3.1.2 消费-收入异方差资料的 BPG 检验在文献1里,收有一组消费(Y )与收入(X) 的资料,共 60 对,要求作异方差检验。表 3.1.2 消费 (Y),收入 (X) 资料Y X Y X Y X55. 80. 152. 220. 95. 140.65. 100. 14
8、4. 210. 108. 145.70. 85. 175. 245. 113. 150.80. 110. 180. 260. 110. 160.79. 120. 135. 190. 125. 165.84. 115. 140. 205. 115. 180.98. 130. 178. 265. 130. 185.95. 140. 191. 270. 135. 190.90. 125. 137. 230. 120. 200.75. 90. 189. 250. 140. 205.74. 105. 55. 80. 140. 210.110. 160. 70. 85. 152. 220.113. 150
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