1、基本不等式应用技巧之高级篇基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题1。例题1. 已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx解：因 ，所以 。0这可以先调整式子的符号，但 不是常数，所以必须对 进行拆分。1(42)5x42x142(53yx当且仅当 ，即 时取等号。4x1故当 时，1xmay但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循呢？请看下面的例题2.例题2. 设 是不全为零的实数，求 的最大值。,xyzw22x
2、yzw显然我们只需考虑 的情形，但直接使用基本不等式是不行的，0,0yzw我们假设可以找到相应的正参数 满足：22222()(11()xyzxyzzwy（ ）故依据取等号的条件得，参数 就是我们要求的最大值。121()tt消去 我们得到一个方程, 240t此方程的最大根为我们所求的最大值得到 21t从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为2(1)21了取得最值。我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。例题3. 设 是不全为零的实数，求 的最大值。,xyzw31692xyxz引入参数 使其满足：,32(1)(2)2xyz
3、xyxyz依据取等号条件，我们有3169(2)txyz消去参数 我们得到一个方程,5432(18)6281071458)0tttttt解得 这就是我们所求的最大值。因此， 33 1861616922(8)328xyzxxyzzyzxz当且仅当 取等号。:1:6y再看看下面这个题目。例题4. 设 是正实数，求 的最小值。,xyz2210xyz解：引进参数 ，使之满足：k2222210(10)(10)()zzxyzkxykxkykz依据取等号的条件，有： 2()4kkt故 的最小值4.210xyz例题5. 设 是正实数且满足 ，求 的最小值。, 3xyz23xyz解：观察题目的结构考虑到 的对称性
4、，引进参数, ,kl2332xkyzlzl2322()()3xyzklxylz由取等号的条件有： 2,klxyzlkl解得 ，19372k1376l所以， 322()()xyzkxylzkl231746()08kl例题6. 设 是正实数且满足 ，求 的最小值。, 128xy解：考虑到 ，为了使用基本不等式，我们引进参数 ：1xy k()xy则 22188()kkxy 23221894kxyk由取等号的条件：2318154kykx所以 23218974kxy例题7. 若 对任意的正实数 恒成立，求 的最小值。2()xyax,xya解： 对任意的正实数 恒成立，所以 对任意的正实数 恒成立。xya
5、,xy设 (1)(1)2kxk由取等号条件： 2t消去 ，可以得到： 解得：k210t512t因此 的最小值为 。a5例题8. 若 且 ，求证：1,2ab1ab212ab分析：使用柯西不等式很简单处理了，但我们还是玩一下基本不等式。设22121mabb22221amma考虑到取等号的条件，有 2 221,1amba所以， 22bm例题9. 有一边长为 （ ）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方,ab形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？分析：这是一个高考题，很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基本不等式来处理它。解：设裁去的
6、正方形的边长为 ，则做成的无盖长方体容积为x，V=()2xabx(0)2b引入参数 ，则,mn1()2()(xabxnaxb3 3(m2)nab)37nm由取等号的条件得 )xnabx当 时，右边为常数。20n故当二者同时成立时，函数有最大值。消去参数得到： 214()0xabx解之得 2()6()b故 22()ababx 3322maxmax(n)(ab)()V=()2754ab例题10. 求函数 的最小值。21(0)yx分析：单变量函数优选求导 数用单调性的方法。但2212xx本题也是可以使用基本不等式的。解：引进参数 0，则 2212yxxx23()()416由取等号的条件得： ，24x12x消去参数 得，30化简得， 2(1)解之得 x此时 ，2min74y例题11. 问 （ ）取何值时， 取最大值。022cosiny解：引进参数 ，,ab由 21cosin(sin)(1si)yb3(1)sin27aba由取等号成立的条件得： (1i)(i)i0ab2si,30in,are所以 31,2a;b所以 3()2cosin79ay基本不等式是一个非常有用的结论，从上面的例子中我们可以看出，适当的配凑可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时时要细心体会，才能达到灵活应用的。
