1、一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设 是多项式 的最小实根，则（）. 0x432()Pxabxcd（A） （B） （C） （D）00()P0()Px解 选择 A. 由于 ，又 是多项式 的最小实根，故 .0lim()xx 0()x2.设 则函数 在点 （）. 3()li1xaf()fa（A）取极大值（B）取极小值（C）可导（D）不可导解 选择 D. 由极限的保号性知，存在 ，当 时， ，当()U()x3()0fxa时， ，当 时， ，故 在点 不取极值.xa()fxaxfaf，所以 在
2、点 不可导.332()1limli()xaxaf()fxa3.设 连续，且满足 ，则 （）.(,)fy(,),fyfx21(,)xyfdy（A） （B）210(,)xdfd 210(,)ydfx（C） （D）21xy d解 选择 B. 由题设知.22 2 1011,0(,)(,)(,)yxyxyfdfdxyfx4.微分方程 的特解 形式为（）.2ex*(A) (B) *2()xyab*2exya(C) (D) *2ex*22()xb解 选择 D. 特征方程 ，特征根 ， 是特征根，特解 形式为20r0,r*y.*2()exyab5. 设函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）. f（A）
3、（B） 20()xftd20()xftd（C） （D ）0()xtft0()xtftd解 选择 C. 由于 为奇函数，故 为偶函数.()tft0()xtft6. 设在全平面上有 ， ，则保证不等式 成立的0,xy),(yxf 12(,)(,)fxyf条件是（ ）（A） ， . （B） ， .21x21y21x21y（C） ， . （D ） ， .解 选择 A. 关于 单调减少，(,)0(,)ffxy关于 单调增加，(,)(,)fxyfxy当 ， 时， .21211212,(,)(,)ffxyf7.设 和 为实对称矩阵，且 与 相似，则下列结论中不正确的是（） .ABAB(A) 与 相似 (B)
4、 与 合同 E(C) (D) E解 选择 D. 与 相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故 A，CAB正确，又 和 为实对称矩阵，且 与 相似，可以推出 与 合同，故 B 正确.ABA8. ， ， 为 维列向量，则有（）.nmrR)(bm(A)当 时，方程组 有解rx(B)当 时，方程组 有唯一解(C)当 时，方程组 有唯一解nAb(D)当 时，方程组 有无穷多解rx解 选择 A. 当 时， ，方程组 有解.m,()rAxb二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）9. .10()elimxx解 答案为 .2111ln()ln()000
5、()eeliiimxxxxxx0lnimx2001l()eieli2xx10 设 有二阶连续偏导数， ，则 . f (,)ufyzuy解 答案为 .22333xfyfxzfuyz2 223323333()xffxfzxfyfxzf11.设微分方程 的通解为 ，则 . ()ylnC()解 答案为 . 将 代入微分方程，得 ，故 .21xlnxy 21(l)lnxC21()x12.数列 中最大的项为 .n解 答案为 .3【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】设 ， ，1ln()exxxf1ln2()e0xfex时， ， 单调增加，故 时， 递增， 最大，e0ff()nf2时， ，
6、单调减少，故 时， 递减， 最大，x()x()enn3又 ，数列 的最大项为 .36982n313.方程 在区间 内的实根个数为 .80521xdt(0,1)解 答案为 . 令 ， ，80()52xdtf 180(20,()3dtff由零点定理知，此方程在区间 内至少有一个实根，又 ，(,) 5x单调增加，故此方程在区间 内有且仅有一个实根 .()fx114.设 阶矩阵 的秩为 ， 是非齐次线性方程组 的三个线性无关的解，nA2n123,Axb则 的通解为 .xb解 答案为 ， 为任意常数. 121231()()kk2,k是非齐次线性方程组 的三个线性无关的解，则 是123, xb2131,的
7、两个解，且它们线性无关，又 ，故 是 的基础0Ax()nrA0Ax解系，所以 的通解为 .b121231()kk三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分 9 分）求极限10()esinl()lim.xx x解 1 111ln()ln()0 000()esinl()()eelim2li2im2ixxx xx xxx0l()eix200l()1eimeliex x16. （本题满分 9 分）设 单调且具有一阶连续导数， 满足()f ()zfxy，求可导函数 .()0zyxy解 ， ，代入方程 ，得 ，f()fy()0zxy()()0y
8、fy即 ，解得 ，其中 为任意常数.()()exC17. （本题满分 9 分）计算积分2123(sin)ydxydx解 画出二重积分区域 ， 是 的第一象限部分，由对称性，得D1212323(sin)(sin)y Ddxydxydxy 1 2cos240()Ddr340(8cos)9318. （本题满分 11 分）求微分方程 满足初始条件 ， 的特解.2()0()ya0xy01x解 令 ，代入原方程，得,dpx， ， ， ，20dpax2a2dpax1Cp由 ，得 ，,1ypC， ，即 ，1axpax1yax故 ，21ln()yd由 得 ，所以 .0,x20C1ln()yxa19. （本题满分
9、 11 分）设 和 在区间 可导，并设在 内 ，证明在()fg(,)b(,)b()(0fgxf内至多存在一点 ，使得 .,ab(0f证 设 ，则 .()()gxxfe()()gxeffx若在 内存在两个不同的点 ，使得 ，, 12,120则由罗尔定理知，至少存在一点 介于 之间，使 ，,()即 ，于是有 ，与题设矛盾，()()0geffg()ffg故在 内至多存在一点 ，使得 .(,)ab()0f20. （本题满分 11 分）设有抛物线 ： ，试确定常数 的值，使得2yabx,ab 与直线 相切；1 与 轴所围图形绕 轴旋转所得旋转体的体积最大.xy解 设切点为 ， ，0(,)2bx切线斜率
10、，0012,4kbxyab代入切线方程，得 .()42ab又旋转体体积 ，23000()aayVxdydyda，解得 或者 ， ，2(3)236V，故 时，体积 最大，0)4,(4a将 代入 得 ，所以 ， .3ab4b21.（本题满分 11 分）一质量为 的物体以速度 从原点沿 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平m0vy方成正比（比例系数 ） ，试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物k体上升的最大高度.解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度 所满足的微分方程为()yt，22dydymgktt初始条件为 .0(0),()v代入方程，得 ， ，dyvt2dmgkt2dvkg
11、tm记 ， ， ，2,kagb2vabt2tab积分得 ， 时， ，故 ，1rctnC0t0v01arcnbvC，aarcvbb令 ，得上升到最高点的时间为0v 01arctnbvt，1arctn()btn()avb上升的最大高度为 .1 12012 200tlncos()ln()t bvytdaba22. （本题满分 11 分）设 .TTTTT1234,3,3,57,1当 满足什么条件时， 可由 线性表示，且表示式唯一？ab124当 满足什么条件时， 可由 线性表示，且表示式不唯一？并求出 的, 3,表示式.解 设 ，其增广矩阵1234xx123413013051(,)2742aabb当 时
12、， ，方程组有唯一解，即 可由a12341234(,)(,)rr线性表示，且表示式唯一.1234,当 时， ，a12340011(,)2b故当 时， ，方程组有无穷多解，4,b1234134(,)(,)rr即 可由 线性表示，且表示式不唯一，1234，同解方程组为 ，123401(,)132340x通解为 ，TT(,0)(2,10)k故 的表示式为 ，其中 为任意常数.23(k23. （本题满分 11 分）设 为 阶矩阵， 可逆，且 ，证明：,APnAP若 是 的特征向量，则 也是 的特征向量； 若 有 个不同的特征值， 是 的特征向量，则 也是 的特征向量.P证 证 设 ，则 ，故 也是 的特征向()()()()A量由 有 个不同的特征值知， 的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又AnA是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数 ，使得 ，,P cPc故 也是 的特征向量 .
