1、高中数学知识大全第 1 页(共 21 页)为为为为p为q为为为为p为q为为为为q为p为为为为为q为p为为为为为 为 为为为为为为为 为为为第一章 集合与简易逻辑一、集合知识1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.4. 集合运算:交、并、补. 5. 主要性质: UABABACC U(AB)= (C UA)(C UB) CU(AB)= (C UA)(C UB)6. 设集合 A 中有 n 个元素,则A 的子集个数为 ; A 的真子集个数为 ;n212nA 的非空子集个数为 ;A
2、的非空真子集个数为 .12n n7. 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集二含绝对值不等式、一元二次不等式的解法1.整式不等式的解法: 一元一次不等式 (的 解 集bax)0a或分一元二次不等式 :(大于取两边,小于取中间)的 解 集)0(2cbxa一元高次不等式:穿根法(零点分段法)(记忆:x 的系数全化为正,从右到左、从上到下,奇(次幂)穿,偶(次幂)穿而不 过)2.分式不等式的解法(移项通分,不能去分母)0)(0)(;)(0)( xgfxgfxfxgf3.含绝对值不等式的解法,与 型的不等式的解法. cba)(cba(将 x 的系数化为正,大于取两边,小于取中 间)三简易逻辑1构
3、成复合命题的形式:p 或 q(记作“pq” )(一真则真);p 且 q(记作“pq” )(一假则假);非 p(记作“q” )(真假相反) 。2四种命题的形式:原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p;否命题:若P 则q;逆否命题:若q 则p。(原命题 逆否命题)3、充要条件:4、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。高中数学知识大全第 2 页(共 21 页)第二章 函 数一、函数与映射1映射的性质:从 A 到 B 的映射:A 中不能有剩余元素,B 中可以有剩余元素,允许多对一,不允许一对多。若 A 有
4、 3 个元素,B 有 4 个元素,则有 个映射。342函数的三要素:定义域,值域,对应法则。二、函数的性质(1)奇偶性(在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称)奇函数: 、图象关于原点对称,在两个对称区间具有相同的单调性;)()(xff偶函数: 、图象关于 轴对称,在两个对称区间具有相反的单调性;y常用的结论:若 是奇函数,且 ,则 ;f定 义 域0)1(0)(fff或若 是偶函数,则 ;反之不然。)( 1)(ff常见的奇函数: lg2xy xylgxey 12xy1xe2非奇非偶函数:f(x)= .xsinco(2)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)定义法 步骤:a.设 ;b.作差 ;c
5、.判断正负号。2121,Ax且 )(21xff掌握函数 的图象和性质;)0();0(axyacbcay函数 xx(b ac0))0(axy图象 XooyxX=-cY=ay高中数学知识大全第 3 页(共 21 页)单调性当 b-ac0 时:在 上单调递减;),(),(c和当 b-ac0)恒成立,则 y=f(x)的周期为 2a;若 y=f(x)是偶函数 ,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)的周期为 2a;若 y=f(x)奇函数 ,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x) 的周期为 4a;y=f(x)对 x R 时,f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)= ,则 y=f(x) 的周期
6、为 2 ;)(1xf三、函数的图象1、基本函数的图象:(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数。2、图象的变换:(1)平移变换 (先表示成 y=f(x):左加右减,上加下减。)(2)对称变换:函数 与函数 的图象关于 轴对称;)(xfy)(xfy函数 与函数 的图象关于 轴对称;x函数 与函数 的图象关于坐标原点对称;)(f )(fy如果对于函数 y=f(x)都有 f(x+a)=f(a-x),那么 y=f(x) 的图象关于直线 对称。a如果对于函数 y=f(x)都有 f(x+a)=f(b-x),那么 y=f(x) 的图象关于直线 对称。2
7、bx (把 轴下方的图象翻折到上方))(xfy)(xfy (擦掉 轴左侧的图象,把右侧的图象对称到左侧)y 与 关于直线 对称。性质:)(1f)(fxabfaf)()(1(3)伸缩变换: 系数变小伸长;系数变大缩短。xy0(),af四、函数的反函数求反函数的步骤:求原函数 , 的值域 B 把 看作方程,xy)A)(xfy高中数学知识大全第 4 页(共 21 页)解出 ;x,y 互换的 的反函数为 , 。)()(xfy)(1xfy)B五、求函数的值域的常用解题方法: 配方法。如函数 的值域,特点是可化为二次函数的形式;124换元法:如 y= 单调性:如函数 x1,2 x1 xyx2log判别式法
8、(法)如函数 y= 32利用函数的图像:如函数 y=|x+3|+|x2| 利用反函数:如函数 y= xsin2利用基本不等式:如函数 y= .方程 k=f(x)有解 kD(D 为 f(x)的值域);32x.af(x) af(x) max,; af(x) af(x) min;六、指数、对数的性质:1. ,指 数 运 算 : , ap0110()aaamnmn(010),2. logllog NMNMa ,对 数 运 算 :,lllllaaaana, 1bmnbaaloglog,)0(logxa对 数 恒 等 式 : )(logRka,llbca对 数 换 底 公 式 :3. 的符号由口诀“同正异
9、负”记忆; 如: 。balog 05log.03log212七、复合函数单调性: , :同增同减为增,一增一减为减。xgfy)(xf与第三章 数 列一数列及数列的通项公式1.数列的前 n 项和: 2.数列的通项公式: nnaaS321 )2(11nSan3.递推公式:已知数列 的第一项(或前几项),且任一项 与它的前一项 (或前几项)高中数学知识大全第 5 页(共 21 页)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式。二等差数列1.定义: 即: 成 等 差 数 列)0,2(1 nnn aqada2.判定方法:定义法: (常数) ; 等差中项法: 。 212nna3.通项公式:
10、若首项是 ,公差是 ,则通项为 。是关于 n 的一次函数。1 dn)(14.等差数列的前 n 项和: 2)(1nnaSaS2对于公式整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数(充要条件)。5.等差中项:如果 , , 成等差数列,则有 或aAb2bAb6.等差数列的性质: 等差数列任意两项间的关系:如果 是等差数列的第 项,nn是等差数列的第 项,且 ,公差为 ,则有mmddma)(.若 ,则 。qpnqpna. 是其前 n 项的和, ,那么 , , 成等差数列。S*NkkSk2kS23. 是奇数项的和, 是偶数项的和, 是前 n 项的和,奇 偶S结论:(i) ;naan221奇项 , 则若 有
11、偶 数 项 12nnaS偶所以有 daS12341奇偶(ii) )()(12Snn奇项 , 则若 有 奇 数 项naaSn12偶中偶奇 中偶奇 aSan1; 1偶奇 2Snn偶奇 偶奇偶奇若等差数列 的前 项的和为 ,等差数列 的前 项的和为 ,na121nb1212nT则 。(比如: ; )12nTSba179Tb90a三等比数列1定义: 成 等 比 数 列),(1 nnnqaqa2.等比中项:如果 , , 成等比数列,那么 ,即 。GbGbaab23.等比数列的判定方法:高中数学知识大全第 6 页(共 21 页)定义法:对于数列 ,若 ,则数列 是等比数列。 na)0(1qnna等比中项:
12、对于数列 ,若 ,则数列 是等比数列。21n)n4.等比数列的通项公式: 。1n5.等比数列的前 n 项和: )()(11qaqaSnn6.等比数列的性质:等比数列任意两项间的关系:如果 是等比数列的第 项, 是等差数列的第 项,n ma且 ,公比为 ,则有nmmna.对于等比数列 ,若 ,则naqpqpa若数列 是等比数列, 是其前 n 项的和, ,那么 , , S*NkkSk2kS23成等比数列。四数列的通项求法: (1)等差,等比数列的通项公式;(2) (3)累乘法 :)2(,1, nSaaSnn则 有求已 知 )(1ngan形 如(4)累加法: ; (5)构造法:)1fn形 如 .qp
13、形 如五数列的求和方法:(1)公式法:即等差与等比数列的公式;(2)裂项相消法: 如: 1)(1nan(3)错位相减法: , cb为 等 比 数 列为 等 差 数 列 ,nc倒序相加法:如 an= ; 分组求和法: 如:a n=2n+3nC10 nb六其他结论:1、 BASBAannn 2成 等 差 数 列(1) 成 等 比 数 列成 等 差 数 列 ab(2) ;成 等 比 数 列成 等 比 数 列 knna成 等 差 数 列成 等 比 数 列 nbananlog02、在等差数列 中,(1)当 ,d0 时,满足 的项数 m 使得 取最小值。01a01maS3、三个数成等差的设法:a-d,a,
14、a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,a+d,a+3d4、三个数成等比的设法:a/q,a,aq;第四章 三角函数一、基本概念和知识要点1三角函数定义:sin = ,cos = ,tan = ,cot = ,sec = ,csc = 。ryrxyxryr2同角三角函数的关系中,平方关系是: ; ;1cossin2222tan1cs倒数关系是: ,商数关系是: , 。1cottan intaios3 诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限( 的奇、偶数倍)。2如: , = , 。)2si(cs)25t(tan)3t(tan4、三角函数的图象:ysinxycosx(略)xtan5
15、函数 的最大值是 ,最小值为 ,周BAy)si(),( 其 中 0ABAA期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其图象的对称轴是直线2T2fx,对称中心为( ,0),其中横坐标满足 。)(Zkx )(0Zkx6 三角函数的单调区间: 的递增区间是 递减区间是xysin22k, )(高中数学知识大全第 8 页(共 21 页); 的递增区间是 ,递减区232k, )(Zxycosk2,)(Z间是 , 的递增区间是 , )(tank,7yAsin(x)五点法作图:依次取 x .2,3,08三角变换: (A0,0) 先平移变换,再伸缩变化先伸缩变化,再平移变化。(注:平移多少个单位,一定要把解析式中
16、x 的系数提出)如将函数 的图象按 平移后得函数 的图象,则 3)sin(2xyay3sin2a9两角和与差公式: iicosin)cos(icos)tan(tan1t10、二倍角公式是:sin2 = in2cos2 = = = 2sico1cos2sin2 = 。 tan = = 。tan2ta12ico11、升幂公式是: 。cs2si12、降幂公式是: 。o1sin21s213、万能公式:sin = cos = tan =2ta12tan12tan114、特殊角的三角函数值:(自己总结)15、正弦定理:(其中 R 表示三角形的外接圆半径): RCcBbAsiisi16、余弦定理第一形式:
17、= ;第二形式: cosB=2bBaco2acb217、ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,则:高中数学知识大全第 9 页(共 21 页) ; ; ;ahS21AbcSsin21 CBARSsinsi2 ; ( 为ABC 的周长)Rbc4pr18、在ABC 中, , (充要条件)Cosc Bsiin -ta )+ta(-c B)+s(in=B)+si(A 2o2sinA2coCA tatattat 19解斜三角形的常规思维方法是:(1)已知两角和一边,由正弦定理求; (2)已知两边和夹角,应用余弦定理求 c 边;(3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b
18、、A),应用正弦定理求 B,(4)已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C20.弧度制: ,弧长公式: ; 扇形面积公式: ;rl|lr21slr21几个重要的三角变换:sin cos 可凑倍角公式; 1cos 可用升幂公式;(其中 )这一公式应用广泛。sincossin2baba abtn22函数 y = sin (x ):奇函数 偶函数kZZk2函数 y =cos (x ):奇函数 偶函数 2第五章 平面向量1.向量的概念(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度,叫做向量的模。(2)几种向量:零向量,单位向量,共线向量(平行
19、向量) ,相等向量,相反向量。向量的坐标表示: =(x2-x1,y2-y1),其中 A(x1,y1),B(x2,y2)AB(3)向量的运算 向量的加法与减法:定义与法则(如图 5-1):高中数学知识大全第 10 页(共 21 页)坐标运算:a+b=(x 1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中 a=(x1,y 1),b=(x2,y2)。2.平面向量的数量积定义与法则(如图 5-3):向量的夹角: ( ) 两个向量的数量积: = cos008 ab其中 cos 称为向量 在 方向上的投影bb向量的数量积的性质: 若 =( ), =( )a1yx2,yx则 = =0ab21
20、yxb01与 夹角为锐角 ; 与 夹角为钝角),(),(02211yxab),(),(02211yx3.定理与公式 共线定理:向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使得 = 。 b ba结论: ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0a0平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的1e2任一向量 ,有且只有一对实数 1, 2 使 = 1 + 2ae两向量垂直的充要条件(i) =0 (ii) x1x2+y1y2=0bb三点共线定理: 平面上三点 A、B、C 共线的充要条件是:存在实数 、,使 = + ,其中 +=1,O 为平面内异于 A、B、C 的任一点。OAB两点间的距离公式:| |= ,其中P 1(x1,y1),P2(x2,y2)21P2121)()(yx点的平移公式:若点 P0(x,y)按向量 =(h,k)平移至 P(x,y),则a.,kyhx定比分点公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),1221,P1