1、整式的乘法与因式分解章节复习【本章重点】 幂的运算法则，整式乘除法则，乘法公式以及因式分解的概念及方法【本章难点】 灵活运用公式进行乘法运算以及进行因式分解，添括号时括号中符号的处理【本章知识结构梳理】1幂的运算法则(1)同底数幂相乘，底数 ，指数 即 ；(2)幂的乘方，底数 ，指数 即 ；(3)积的乘方，等于 即 2整式的乘法法则(1)单项式乘以单项式，把它们的 ， 分别相乘，对于只在 ，则连同它的 一起作为积的一个因式(2)单项式乘以多项式，是根据分配律用单项式去乘多项式的 ，再把所得的积相加(3)多项式乘以多项式，先用 乘以 ，再把所得的积相加3乘法公式(1)平方差公式：两数之 乘以这两
2、数之 ，等于这两数的 ，即： (2)完全平方公式：两数和(或差 )的平方，等于这两个数的 ，再加上(或减去) 它们 ，即： 4因式分解的注意事项(1)在提公因式时，公因式符号取决于首项符号；若各项系数都是整数所提的公因式是各项系数的 与各项均含有字母的 幂的积(2)能运用平方差公式 )ba(ba2分解的多项式，必须是二项式，且这两项的符号相反，a 、b 可表示单项式或多项式，每项都能写成数(或式) 的完全平方的形式(3)能运用完全平方公式 22分解的多项式，必须是三项式，且其中两项符号相同且都写成数( 或式) 的完全平方形式，而余下的一项是这两个数 (或式)的乘积的 2 倍若三项中的两个完全平
3、方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全平方公式分解因式5因式分解的思路与解题步骤(1)先看各项有没有公因式，若有公因式，则先 (2)再看能否使用 法(3)用分组分解法，即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的(4)因式分解的最后结果，必须是几个整式的 如)1x(2，虽然这里的右边是乘积的形式，但 x1不是整式，所以不是因式分解；再如ma mbcm(ab)c，因其右边不是积的形式，故不是因式分解(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再 为止如)ab(a232尽管其右边已是两个整式 a、 2b的乘积形式，但 2ab还能继续分解，故不是因式分解(6)因式分解与整式乘
4、法是互逆变形，在解题中何时用整式乘法，何时用因式分解，需根据题目灵活变化如：在计算 22)6x()(时，若按照运算顺序先做整式乘法，势必增加运算量，如果运用平方差公式进行因式分解，可使运算简便，即 x2416x()()6x(22 【解题思想】1从特殊到一般的认识规律和方法2化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式3整体代换的方法此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母 a，b 不仅可以表示一个单项式
5、，还可以表示一个多项式，在因式分解 3a(m2)4b(m 2)中，可把 m2 看作一个整体，提公因式 m2，即原式 (m2)(3a 4b)4逆向变换的方法在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便如： 57754175202020320 . 57201【经典例题精讲】例 1 下列各式中，计算过程正确的是( )A 633xxB 633x2xC 8505 D 5)(例 2 下列关系式中，正确的是( )A 2ba)B 2ba)(baC D 2例 3(1)计算：19619630(2)已知 21m3793，求 m 的值(3)已知 4xn2，求 n2n)x(4)(的值例 4 比较 1025与的大小例
6、5 已知 734n5m与，求代数式23 )nm(2)n()m(21 的值例 6 计算：（1）2x 3(3x) （2）mn312n4（3）a 4(a44a )(3a 5)2(a2)3(2a 2)2 （4）(a2b )(2ab)(2ab )2( ab)(ab)(3a) 2(2a )（5） 15842211例 7 计算：(xy)( yx)的结果是( )A 2x B 2x C 2yx D 2yx例 8 分解因式： (1)m 3m； (2)(x2)(x3)x 24 （3） 33ab8ba （4） a22 abb 2c 2 （5） abx22例 9 若 )nx(315mx2，则 m 的值为( )A5 B5
7、 C2 D2例 10 在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 2(x 1)(x 9)，而乙同学因看错了常数项而将其分解为 2(x2)(x 4)，试将此多项式进行正确的因式分解例 11 (1)已知 xy 7，xy12，求( xy) 2；(2)已知 ab8，ab2，求 ab 的值整式的乘法与因式分解 同步检测一、填空题：(每小题 2 分，共 22 分)1 4x1) (x2， _a(32422 2 )_(y603.3若多项式(2x1)(5x m)中的一次项系数是 1，则 m _4 5m， n，则 3nm2， _7n5用“”把 、 4、 5从小到大排列起来_ 6若 1yx
8、82， x9，则 y_7光的速度约为 s/k0，以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要 4 年时间才能到达地球，一年以 7103秒计算，则这颗恒星与地球的距离为_8若 3xn2，则 2n3)x(_9若 0|4y|)(，则)yx27(x3nn1_10 222 397810 _11 4ba)b)( _a二、选择题(每小题 4 分，共 24 分)12下列各题的计算，正确的是( )A 927a) B 1427a C 523a6 D 2)0(10.13下列四个等式： 6x(6x2； x)(； 2ba；2ba)(其中，错误的个数是 ( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个14下列各
9、等式中，属于因式分解的是( )A yx1yx12B2323ba6C )(2 D )1(m115 NMba中，M ，N 符合( )AMab， Nab BMa b，NabCM(a b) ，Nab DM a b，Nab16如果 )7x5)(x(22的展开式中不含 32x与项，则 a、b 的值是( )Aa5 b18 Ba 5 b18Ca 5 b28 Da5 b 1817若多项式 6m2能分解成(xa)(xb)的形式(a，b 均为整数)，则整数 m的个数是( )A2 B3 C4 D5三、计算题(每小题 5 分，共 15 分)18 y3(2)y4() 22219 2222 )x()()x3()( 20 2
10、2)b3a()b3a()23)(ba2( 四、将下列各式作因式分解(每小题 4 分，共 12 分)21 3m212mbaba1522 ab4a223 y8421x02五、解下列方程或不等式(每题 6 分，共 12 分)24 )1x()(x12(x)1(3)x2 23n1n 25 312yx32 )x1(y5)x()(六、解答题(第 26 题 4 分，第 27 题 5 分，共 9 分)26若 xy4，xy6，求 xy3)2()2的值27某乡村小学为了规范校园建设，需将原来正方形操场改建成长方形标准操场，改建后的操场长比原来多 4 米，宽比原来少 4 米，问改建后的操场面积比原来操场面积是增大了呢
11、？还是减小了？相差多少平方米？七、证明题(本题 6 分)28已知 A2xyz，B 2yxz，C 2zxy，求证：(yz)A(zx)B(x y)C0专题 1 幂的运算法则及其逆运用【专题解读】同底数幂的乘法、除法、积的乘方、幂的乘方，它们都是整式运算的基础，作用非常大，在整个代数运算中起着奠基作用，幂的运算法则及其逆运用以及零指数幂都是中考必考内容例 1 计算 2x3(3x) 例 2 计算a 4(a44a)(3a 5)2(a2)3(2 a2)2专题 2 整式的混合运算【专题解读】幂的运算与整式的加减乘除混合运算是本章的核心内容，也是整个代数计算的重点在进行混合运算时要注意：(1)确定运算顺序，先
12、乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的或去括号；(2)计算要仔细认真，步步有依据，特别是要注意符号例 3 计算(a2b)(2a b)(2ab) 2(ab)(ab) (3 a)2(2a )专题 3 因式分解【专题解读】因式分解是整式乘法的逆运算，有两种基本方法：提公因式法和公式法一般步骤是先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底例 4 分解因式(1)m 3m； (2)(x2)(x3)x 24二、思想方法专题专题 4 转化思想【专题解读】 转化思想是数学中的重要思想利用这一思想，可以将复杂化为简单，将未知化为已知整式的乘除法法则中多次用到转化思想例 5 分解因式 a22 abb 2c 2专题
13、 5 整体思想【专题解读】 整体思想是数学中常用的数学思想方法，利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值，达到简化计算的目的，事半功倍例 6 (1)已知 xy7 ，xy12，求(xy) 2；(2)已知 ab8，ab2，求 ab 的值【解题策略】 (1)中把 x2y 2 以及 xy 当成了整体(2)中把 ab 看做是一个整体用整体代入法的前提是将已知的代数式和所求的代数式进行恒等变形，将其中的某些代数式化成数字，达到化简、求值的目的【本章重点】1幂的运算法则(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加即 nma；(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘即 n)a(；(3)积的乘方，等于各因式乘方
14、的积即 b2整式的乘法法则(1)单项式乘以单项式，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式(2)单项式乘以多项式，是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加(3)多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加3乘法公式(1)平方差公式：两数之和乘以这两数之差，等于这两数的平方差， 2ba)(ba(2)完全平方公式：两数和(或差 )的平方，等于这两个数的平方和，再加上(或减去) 它们乘积的 2 倍， 2ba)(4因式分解的注意事项(1)在提公因式时，公因式符号取决于首项符号；若各项系数
15、都是整数所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项均含有字母的最低次幂的积(2)能运用平方差公式 )ba(ba2分解的多项式，必须是二项式，且这两项的符号相反，a 、b 可表示单项式或多项式，每项都能写成数(或式) 的完全平方的形式(3)能运用完全平方公式 22分解的多项式，必须是三项式，且其中两项符号相同且都写成数( 或式) 的完全平方形式，而余下的一项是这两个数 (或式)的乘积的 2 倍若三项中的两个完全平方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全平方公式分解因式5因式分解的思路与解题步骤(1)先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式(2)再看能否使用公式法(3)用分组分解法，即通过
16、分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的(4)因式分解的最后结果，必须是几个整式的积如)1x(2，虽然这里的右边是乘积的形式，但 x1不是整式，所以不是因式分解；再如 mambcm(ab)c，因其右边不是积的形式，故不是因式分解(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止如 )ab(a232尽管其右边已是两个整式 a、 2b的乘积形式，但 2ab还能继续分解，故不是因式分解(6)因式分解与整式乘法是互逆变形，在解题中何时用整式乘法，何时用因式分解，需根据题目灵活变化如：在计算 22)6x()(时，若按照运算顺序先做整式乘法，势必增加运算量，如果运用平方差公式进行因式
17、分解，可使运算简便，即 x2416x()()6x(22 【解题思想】1从特殊到一般的认识规律和方法在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则如：从以下几个特殊的例子325323aaa与与，64106464aa 与与，推广到nmnmn aa 与与从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加” 2化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式3整体代换的方法此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母 a，b 不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，在因式分解 3a(m2)4b(m 2)中，可把 m2 看作一个整体，提公因式 m2，即原式 (m2)(3a 4b)4逆向变换的方法在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便如： 57754175202020320 .517【经典例题精讲】1幂的运算幂的运算是整式乘法的重要基础，必须灵活运用，尤其是其逆向运用例 1(1)计算：19619630
