1、 第 1 页 共 10 页数列求通项与求和常用方法归纳1、知能要点1、求通项公式的方法： (1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式 an；(2)利用前 n 项和与通项的关系 anError!Error!(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如 an1 a nf (n)， 累积法，如 f (n)；an 1an(5)转化法：a n1 Aa nB(A0，且 A1)2、求和常用的方法：(1)公式法： dnaSnn 2)1()(11 )(1qnn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项 . 应掌握以下常见的裂项： (1)nn
2、 1()kk 2 21111;()()kkk 1()2()()2nnn 12 (1)1n(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 项和公式的推导方法 ) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前 n 项和公式的推导方法 ) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“ 和式” 中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.第 2 页 共 10 页二、知能运用典型例题考点 1：求数列的通项题型 1 )(nfan解法：把原
3、递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfa【例 1】已知数列 满足 ， ，求 。n21nan21 na解：由条件知： )(121 nan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n1)()( 3412 naa1)1()所以 nan1，21n231题型 2 nnf)(解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1fan【例 2】已知数列 满足 ， ，求 。n321nna1n解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即1an )(, )(又 ， 13421na n1432an321ana32题型 3 (其中 p，q 均为常数，且 )。pn1 0(p
4、q解法(待定系数法)：转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。)(1tatnnt1【例 3】已知数列 中， ， ，求 。na32na解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为321 )(1ttn 321tan,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2 为公)(1nnanb4b3nbnb41比的等比数列，则 ,所以 .12431na第 3 页 共 10 页题型 4 (其中 p，q 均为常数，且 )。 nnpa1 01)(qp(或 ,其中 p，q, r 均为常数)。r解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 (其中 )，1nqqann1 nbnqa得： 再待定
5、系数法解决。qbpnn11【例 4】已知数列 中， , ，求 。na65111)2(3nnana解：在 两边乘以 得：1)2(3nn 1)(31nn令 ，则 ,解之得：nnab211nbnb)2所以 n)3(2题型 5 递推公式为 与 的关系式。(或 )nSa(nSfa解法：这种类型一般利用 与 消去 )2(11n )()11nnnn affSnS)2(或与 消去 进行求解。)(1nnSf2(a【例 5】已知数列 前 n 项和 .a24nnS(1)求 与 的关系； (2)求通项公式 .1n解：(1)由 得：214nS 112nna于是 )()(1211 nna所以 .11nnana(2)应用题
6、型 4( ，其中 p，q 均为常数，且 )的方法，上式两边同乘以 得： pa 01)(qp 12n221nn由 .于是数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以141Sanann2)(21na第 4 页 共 10 页题型 6 rnnpa1)0,(n解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。qpann1【例 6】已知数列 中， ，求数列 的通项公式。n 211,na)0(解：由 两边取对数得 ，21nna nnlglg1令 ，则 ，再利用待定系数法解得： 。nblgabnl1 12)(nna考点 2：数列求和题型 1 公式法【例 7】已知 是公差为 3 的等差数
7、列，数列 满足nanb.,31,121 nnbab(1)求 的通项公式；(2)求 的前 项和.nb解：(1)依题 a1b2+b2=b1，b 1=1，b 2= ，解得 a1=2 2 分3通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 6 分(2)由( )知 3nbn+1=nbn，b n+1= bn，所以 bn是公比为 的等比数列 9 分3所以b n的前 n 项和 Sn= 12 分11()32n题型 2 裂项求和【例 8】 为数列 的前 项和.已知 0， .nSnana342nnSa(1)求 的通项公式；(2)设 ,求数列 的前 项和.1nbanb解析：(1) = ；n2(2)由(1)知， = ，b
8、1()()323nn所以数列 前 n 项和为 = = .1b 11()()5723n 164n第 5 页 共 10 页题型 3 错位相减求和【例 9】已知数列 和 满足，nab*112,2(nN),naba.*1231(N)nb(1)求 与 ；n(2)记数列 的前 n 项和为 ，求 .anT解析：(1)由 ，得 .112,a2当 时， ，故 .nb2b当 时， ，整理得 ，所以 .1nn1nnb(2)由(1)知， ab所以 232nnT4 1()n所以 23 1()2nnnn 所以 .1()T题型 4 分组求和【例 10】已知a n是等差数列，满足 a13，a 412，数列 bn满足 b14，
9、b 420，且b na n为等比数列(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)求数列b n的前 n 项和解：(1)设等差数列a n的公差为 d，由题意得d 3.a4 a13 12 33所以 ana 1(n1)d3n( n1，2，) 设等比数列b na n的公比为 q，由题意得q3 8，解得 q2.b4 a4b1 a1 20 124 3所以 bna n(b 1a 1)qn1 2 n1 .从而 bn3n2 n1 (n1，2， )(2)由(1)知 bn3n2 n1 (n1，2，)数列3n的前 n 项和为 n(n1) ，数列2 n1 的前 n 项和为 1 2 n1，32 1 2n1 2所以，数列b
10、n的前 n 项和为 n(n1) 2 n1.32第 6 页 共 10 页三、知能运用训练题1、(1)已知数列 中， )2(1,211 nan，求数列 的通项公式；na na(2)已知 S为数列 的前 项和， ， nS，求数列 的通项公式.【解】(1) )(,11n， 11a12322 )()( aaa nnn 5)(3(2 2n(2) 1， nnS， 当 时， 121)(nnaS)(1221 aaann .12321nn .)1(23412n2、已知数列 中， ,1na，求数列 的通项公式.an【解】 321nn， )(是以 为公比的等比数列，其首项为 431a.32411nnaa3、已知数列
11、中， ,，求数列 的通项公式.n【解】 nn321， nn)2(21，令 ba1则 nn)23(1， 11)()( bbbnn3)(2232 )2(nnna34、已知 S为数列 的前 项和， ),(NnaSn ，求数列 的通项公式. na【解析】当 1时， 1231，当 2n时， )23()(nnnna.2331nna是以 3为公比的等比数列，其首项为 1a，n.)2(1na5、已知数列 中， nnaa3,11，求数列 的通项公式.n na第 7 页 共 10 页【解析】 nna31， 131na，令 nb1数列 b是等差数列， b)(，1n.6、已知数列 中， )3(231,2,1 naaa
12、n，求数列 的通项公式.n na【解】由 213nn 得 211nn又 012a，所以数列 na1是以 1 为首项，公比为 3的等比数列，11)3(nn1232211 )()() aaaann 1)()2(3n15387、已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .na 1na21n(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 . 12nanbnbnT【解析】 （1）设数列 的公差为 ，d令 得 ，所以 .,123a123a令 得 ，所以 . 解得 ， 所以,n12352351,2ad21.na（2）由（I）知 所以24,nnnb4.4,nT所以 23 14.(),nT
13、两式相减，得 12.nn 所以1(1)4,43n 1134(3)4.99nnnT8、已知数列a n的前 n 项和 Sn ，n N*.n2 n2(1)求数列a n的通项公式；第 8 页 共 10 页(2)设 bn (1) nan，求数列b n的前 2n 项和2a解：(1)当 n1 时，a 1S 11；当 n2 时，a nS nS n1 n.n2 n2 （n 1）2 （n 1）2故数列a n的通项公式为 ann.(2)由(1)知，b n2 n(1) nn.记数列 bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(2 12 22 2n)(1 2342n)记 A2 12 22 2n，B12342n，则 A
14、2 2n1 2，2（1 22n）1 2B(12) (34) (2n1) 2nn.故数列b n的前 2n 项和 T2nAB2 2n1 n2.9、已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， 是等差数列，且ab1.nnab(1)求数列 的通项公式；n(2)令 求数列 的前 n 项和 Tn.1().2ncbnc解析：（1）由题意知当 时， ，2561Sa当 时， ，所以 .11Sa56n设数列 的公差为 ，由 ，即 ，可解得 ，nbd321badb3271 3,41db所以 .13（2）由（）知 ，11(6)()3nnnc又 ，nnT21得 ，34132()2n，5n两式作差，得 23412 ()
15、nnnT所以22(1)(3nn 23nnT10、等比数列 na的各项均为正数，且 2136,9.aa第 9 页 共 10 页(1)求数列 na的通项公式；(2)设 31323logl.log,nbaa求数列 1nb的前 n 项和.解析：（1）设数列a n的公比为 q，由 2369得 324a所以 19q。由条件可知 a0,故 1。由 12a得 12，所以 13。故数列a n的通项式为 an= 13。（2 ） 31323nlogl.lognba(.)2n(.)n故 ()()1n1112.().()231n nb n所以数列 1nb的前 n 项和为11、在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a1
16、10，且 a1,2a22,5a 3 成等比数列(1)求 d，a n；(2)若 d0，求|a 1|a 2| a3| |a n|.解：(1)由题意得，a 15a3(2a 22) 2，由 a110， an为公差为 d 的等差数列得，d 23d40，解得 d1 或 d4.所以 ann11(nN *)或 an4n6(n N*)(2)设数列a n的前 n 项和为 Sn.因为 d0，由(1) 得 d1， ann11，所以当 n11 时，|a 1|a 2| |a3|a n|S n n2 n；12 212当 n12 时，|a 1|a 2| a3|a n|S n2S 11 n2 n110.12 212综上所述，|a1|a 2| a3|a n|Error!12、已知 na是首项为 1，公差为 2 的等差数列， nS表示 na的前 项和。(1)求 及 S；第 10 页 共 10 页(2) 设数列 1nS的前 项和为 nT，求证：当 N都有 1nT成立。解：（1） a是首项 1，公差 2d的等差数列， ()n故 21()(1)3.2naSnn（2）由（1）得， 2214nT 1345()n1135n 1
