1、二次函数与几何图形的综合有解析（2019 年中考数学复习专题）专题八 二次函数与几何图 形的综合中考备考攻略二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函数与线段的长(1)一般设抛物线上点的横坐标为 x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为 x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最
2、小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2.二次函数与图形的面积(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论.4.二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类
3、问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定 方法, 如果一个角为直角 ,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长例 1 (2018遂宁中考改编)如图,已知抛物线yax232x4 的对称轴是直线 x3,且与 x 轴相交于 A,B 两点(B 点在 A 点右侧),与 y 轴交于 C 点. (1)求抛物线的解析式和 A,B 两点的坐标；(2)若 M 是抛物线上任意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN3 时,求点 M 的坐标.【解析
4、】(1)由抛物线的对称轴 x 3,利用二次函数的性质即可得到 a 的值 ,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0 可求出点 A,B 的坐标；(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标.由点 B,C 的坐标 ,利用待定系数法可得直线 BC 的解析式.设点 M 的横坐标为 m,可表示点 M 的纵坐标.又由 MNy 轴, 可表示出点 N 的横纵坐标,进而可用m 的代数式表示出 MN 的长,结合 MN3 即可得出关于 m 的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.【答案】解：(1)抛物线 yax232x 4 的对称轴是直线 x3, 322a3,解得
5、a14,抛物线的解析式为 y14x2 32x4.当 y0 时 ,14x232x 40,解得 x12,x2 8.点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(8,0) ；(2)当 x0 时,y14x232x 44,点 C 的坐标为(0,4).设直线 BC 的解析式为 ykxb(k0).将 B(8,0),C(0,4)代入 ykxb,得8kb0，b4，解得 k12， b4 ，直线 BC 的解析式为 y12x4.设点 M 的坐标为 m，14m232m4,则点 N 的坐标为 m，12m4,MN 14m232m412m414m22m.又MN 3,14m22m3.当14m22m0,即 0m8 时,14m2
6、2m3,解得 m12,m26,此时点 M 的坐标为(2,6)或(6,4).同理,当14m22m0,即 m8 或 m0 时,点 M 的坐标为(427,71)或(427,71).综上所述,点 M 的坐标为(2,6),(6,4),(427,7 1)或(427,71).1.(2018安顺中考改编) 如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1, 且抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直线 ymx n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到
7、点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标.解：(1)依题意,得b2a 1，a bc 0，c3，解得 a1，b2，c3，抛物线的解析式为 yx2 2x3.令 y0,则x22x30,解得 x11,x2 3,点 B(3, 0).把 B(3,0),C(0,3) 代入 ymxn,得3mn0，n3，解得 m1，n3，直线 BC 的解析式为 yx3；(2)设直线 BC 与 x1 的交点为 M,连接 AM.点 A,B 关于抛物线的对称轴对称,MAMB,MAMCMB MCBC,当点 M 为直线 BC 与 x1 的交点时,MAMC 的值最小.把 x1 代入 yx3,得 y2,M(1,2).二次函数与图形的面积例
8、 2 (2018达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接 OA,过点 A 作 ACOA 交抛物线于点 C,连接OC,求AOC 的面积.【解析】(1)设交点式 yaxx 72,然后把 A 点坐标代入求出 a,即可得到抛物线的解析式；(2)延长 CA 交 y 轴于点 D,易得 OA2,DOA45,则可判断AOD 为等腰直角三角形 ,由此可求出 D 点坐标,利用待定系数法求出直线 AD 的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于 x 的一元二次方程 ,解方程可得点 C 的坐标,利用三角形面积公式及 SAOCS CODSAOD 进行计
9、算,进而得出AOC 的面积.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为 yaxx72.把 A(1,1)代入 yaxx72,可得 a25,抛物线的解析式为 y25xx72,即 y25x2 75x；(2)延长 CA 交 y 轴于点 D.A(1,1),OAC90,OA2,DOA 45,AOD 为等腰直角三角形,OD2OA2,D (0,2).由点 A(1,1),D(0,2),得直线 AD 的解析式为 yx2.令25x275xx2,解得 x11,x25.当 x 5 时,yx23,C(5, 3),SAOC S CODSAOD122512214.2.(2018眉山中考改编) 如图,已知抛物线yax2bxc 经过点
10、 A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x 2,过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C,AOB 的平分线交线段 AC 于点 E,点 P 是抛物线上的一个动点 ,设其横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上 ,连接 PE,PO,当 m 为何值时, 四边形 AOPE 的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得 D(3,0),设抛物线的解析式为 ya(x 1)(x3).把 A(0,3)代入 ya(x1)(x3),得 33a,解得 a1,抛物线的解析式为 yx2 4x3 ；(2)由题意知 P(m,m24m3).OE 平分AOB,AO
11、B 90,AOE45 ,AOE 是等腰直角三角形 ,AE OA3,E(3,3).易得 OE 的解析式为 yx.过点 P 作 PGy 轴,交 OE 于点 G,则 G(m,m),PGm(m24m3) m25m 3.S 四边形 AOPESAOE SPO E12 3312PGAE92 12 (m25m3) 332m2152m32m522758.32 0,当 m52 时,四边形 AOPE 的面积最大, 最大值是758.二次函数与特殊三角形例 3 (2018枣庄中考改编)如图,已知二次函数yax232xc(a0)的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与x 轴交于点 B,C,点 C 坐标为(8,0),连接
12、AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点 N 在 x 轴上运动 ,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标.【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；(2)分别以 A,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与 x 轴交于三个点,由 AC 的垂直平分线与 x 轴交于一个点,即可求得点 N 的坐标.【答案】解：(1)二次函数 yax232x c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 C(8,0),c4，64a 12 c 0，解得 a 14，c4，二次函数的表达式为 y14x232x4；(2)A(0,4),C(8,0),AC4282 45.以
13、点 A 为圆心,AC 长为半径作圆,交 x 轴于点 N,则ANAC,故NAC 是以 NC 为底边的等腰三角形,此时N 点坐标为(8,0)；以点 C 为圆心,AC 长为半径作圆,交 x 轴于点 N,则CNCA,故ACN 是以 NA 为底边的等腰三角形,此时N 点坐标为(8 45,0)或(845,0) ；作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于点 N,则 NANC,故ANC 是以 AC 为底边的等腰三角形,此时点 N 为 BC 的中点.令 y14x232x 40,解得 x18,x2 2,此时 N 点坐标为(3,0).综上所述,点 N 在 x 轴上运动,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标为(8,0),(845,0),(3,0)或(845,0).3.(2018兰州中考) 如图,抛物线 yax2 bx4 经过A(3,0),B(5, 4)两点,与 y 轴交于点 C,连接 AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式；
