1、教之目的是学 学之根本在思-谈基于数学主动性思维培养的课堂教学设计许钦彪 浙江省绍兴市稽山中学 312000课堂教学是培养数学思维的重要方式，也是数学教师教学能力的主要表现。从目前的教材、教参、教学设计和课堂教学方法过程来看，数学思维的培养还有许多方面值得研究探讨和改进。比如，现在教学中比较显现的是教师主导下的思维活动，学生的思维很大程度上是受引导下的被动思维，因为随着提示、启发、引导进行的思维是有框架的、有约束的和被动的，是不够积极的思想，因而，这种被动的思维培养是不够科学完整的。授人鱼不如授人渔的道理不仅要理解，更重要的是在具体的课堂教学实践中努力体现。教学的主体是学生，课堂教学应该充分关
2、注学生主体的主动意识。任何知识、方法、经验，主动意识得到的远比被动接受的影响深远、掌握牢固，并会主动熟练地运用。思维更是如此，所以数学思维的培养也应该在学生主体的主动性思维上进行，从而使学生学会完整、正确、主动、自觉、合理自然的数学思维方法。本文以新课标数学必修（人民教育出版社）为主，用几则教材处理和课堂案例来分析说明主动性思维的培养，期盼能抛砖引玉，获得同行的思考和讨论。一. 余弦定理推导两种教学课例比较第一章 1.1.2常见的教学课例是在教材给出的探究基础上进行的。1. 教师给出问题：已知 的两边长 ， ， 、 的夹角 ，求第三边长 。ABCaACbBACAB2. 学生思考，教师给予启发：
3、设计边长的问题，可以考虑用向量的数量积，或解析几何的两点距离公式解决。然后师生一起用向量法和坐标法二种方法得到余弦公式。点评：这种教学设计和教学过程是在教师根据教材内容安排的启发引导形式，而且有许多学生已预习了教材，学生虽然参与了教学活动，但其探索方式和思维是被动的、有约束的，并没有自然、主动的思维和探究。主动性思维教学课例1. 教师给出问题：上节课学习了正弦定理，正弦定理可以用来解三角形，解三角形的基础思维就是利用图形找边角关系。现在请大家讨论 ，用边 、 、 和角 、 、 为条件确定三ABCabcABC角形的大小有几种类型？其中哪些可以用正弦定理解决？2. 学生思考讨论后，列出了已知某些边
4、角确定 的以下情况：已知二边一对角，求其余边角；已知二角一对边，求其余边角；已知二边一夹角，求其余边角；已知三边，求其余边角。其中可以用正弦定理解决，但用正弦定理还是不能解决的。3. 教师对学生的思考结果进行小结并指出：要完整地解决三角形边角问题，仅有正弦定理是不够的。今天我们就来共同探讨类问题的解决方法。请大家先对以下类问题的具体形式进行思考。在 中，已知边 ， 和角 （如图） ，求边长 ；ABCabCc在 中，已知三边 、 、 ，求角 。c4. 学生经过思考、讨论、研究得出以下几种主要方法，教师请学生一一展示自己的方法并整理评价。方法一：过点 作高 将 分成二个直角三角形，再在 中利用勾股
5、ADBCRtADB定理得到边角关系。在 中， ， ， ，RtBsinbcosbcosBabC。22222()()ca这样就解决了问题。变形为 ，问题也得到解决。22osabcC教师评价：（1）这个方法很好，它是上节正弦定理推导方法思维的连贯延伸，自然地利用了高和直角三角形的勾股定理来寻求写三角形的边角关系，是数学中“化陌生为熟悉”的一种重要思维，也是类比联想思想和数学知识承上启下应用发展的方式。（2）进一步问，如果角 是钝角（如图） ，结果是否一样？C（3）问题和问题实质上是逆向命题，属于同一类型，所以可以用同一种方法解决。方法二：利用平面向量方法如图， ，AB22 2() cosCCABCA
6、BC由向量数量积得到 。coscab教师评价：（1）这也是一种好方法，这种方法避免了角 是锐角、钝角的讨论。（2）从这种方法可见平面向量的重要作用，应该掌握向量模就是边长，数量积与向量夹角有关，从而用向量来寻找边角关系的思想方法。（3）难点是我们平时用向量比较少，所以能联想到向量的同学不多。其实，向量运算的应用比较广泛，请大家重视和尝试。方法三：利用直角坐标系建立直角坐标系如图则各点坐标 ， ，(0,)C(cos,in)AbC(,0)Ba，由两点之间距离公式得 2222(cs)(si0)coscBaabC。教师评价：（1）把边长看成两个顶点之间的距离时，就可以考虑平面解析几何中两点之间的距离公
7、式。关键是直角坐标系的选取要有利于各个顶点的表达。（2）这里的点 是根据三角函数定义用角表示点的方法，与角 的(cos,in)AbC大小无关。ABCBCDca5. 至此，教师整理出余弦定理的一般形式、变化形式，并应用于解题。点评：从教学设计和课堂教学实际情况看，第二种方案学生的参与度明显比第一种方案广，而且从提出解三角形的四类问题设计归类，到余弦定理的探究推导，都是学生在没有启发、没有框架、无拘无束的情况下，自然、自觉、主动地类比联想思考探究得到的，不但自主地得到了余弦定理，而且思维活跃，影响深刻，掌握牢固，方法灵活，更在思维探究过程中轻松解决了本节课的另一个重要难点问题，即解三角形的变形和正
8、弦定理、余弦定理的运用类型，很好地完成了本节的教学目标。从学生自然意识主动思维得到的方法分析统计，能想到一种以上方法的学生数为 ，92%二种方法的 ，三种方法的 。其中方法一的比例最高为 ，其次是方法二64%2060，方法三 。可见，教材给出的提示和第一种教学设计中教师的启发，与学生的302自觉兴趣、自然反应和主动思维是有差异的。按照第一种教学设计只能让学生在先入为主的启发下被动思维，而第二种教学设计则能让学生充分自主探索研究和主动思维，使学生感到主动思维成功的喜悦和数学的趣味，从而学习数学更加主动，更有兴趣，更能主动积极地参与思维活动。这样的教学设计符合数学的本质，真正培养了学生的数学思想。
9、由此可见，只要我们教师在教学时充分意识到数学教育的本质和任务不仅是传授数学概念知识，学习掌握方法，更重要的是体现数学核心素养，使学生养成数学思想，发展数学思维，从而有意识地重视和体现主动性思维培养，就一定能通过课堂教学，使学生形成主动思考，自觉探究，联想归纳等的主动性思维习惯。这实际上也是数学教学方式改革创新中从“教概念到概念化”的一种教学实践尝试。二等差数列求和公式教学设计第二章 2.3在介绍等差数列的前 项和时，大部分教师参照教材一开始给出的高斯思想进行提示，n并且再把这个思想与求和结合起来。其实许多学生，尤其是初中学过和课前预习过的学生，他们的思维就只停留在高斯的思维引导下，而缺失了自觉
10、主动创新思维的意识，只感受到了高斯的“聪明” ，而没有意识去尝试这种“聪明”思维自己能否产生和如何产生。这样被动的思维培养其实只是一种形式而已，这样的思维过程也很不“顺其自然” 。而以下的教学设计较好地体现了主动思维的培养。1. 教师不作任何提示，直接让学生尝试求和。2. 学生思考后，基本能够自然地利用通项把每一项的第一个相加，第二个概括在一起得到： .)1(21dnnaS到了这里，学生们就能自然而主动地想到求 就是求 。关于自然数nS)1(21n求和，有的学生就回忆起了高斯方法。更可喜的是，即使没有想到高斯，从的形式看，大多数学生也想到了 ，)1(2(1n )2()(也就是说“与首末等距离的
11、两项之和相等” ，这样就得到了 。nS如果是 呢，显然也成立。到此，再请学生们看高斯的思维，学生们就会自信地感到自己和高斯一样可以创造性地思维，就会增加学习的主动性和兴趣。3. 教学至此，教师只要提一句：等差数列有否这个性质？几乎全体学生都能得到等差数列有这样重要的性质：“与首末等距离的两项之和相等” ，即 121nnaa从而自然想到 的求法是 ， ，nSnna21 1aSn， )(21nnaS .)1()(1da至此，求和已完成，接下来是巩固和拓展。4. 教师小结重要的两点：(1) 数列的问题往往要从项着手分析，同学们想到的”拆项法” 很重要和有用，比如把每 项拆成 2 个甚至多个，分别将第
12、一个，第二个合并求和。再比如拆成 2 个后有可能前后有关联，请学生做课本 P47 习题 4.对于习题 4，本来有许多学生是陌生和困难的，但由于有了前面的思维基础，大多数学生这时能很自然地得到： .1)1()321()()1(321 nnnSn 教师进一步提出求 .)(53nSn并提醒学生注意不同的细节。.)2(114231Sn教师更进一步提出对于等差数列，求 .11321 nn aaS从具体课堂效果来看，学生们基本上会顺利解决并自主总结出方法拆项相消法。(2)等差数列的重要性质：“与首末等距离的两项和相等” ，即，这是很有用的性质，利用它可以灵活、快速、准1121 tntnn aaa确地解题。
13、在具体问题中，要注意的是如果 n 是奇数，则中间是一项；如果 n 是偶数，则中间是两项。5. 进一步请学生应用练习：在等差数列 中， （1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 ；（3）已知na7a13S15,a178,S求 。,21S157通过以上练习，学生体会到了用此性质的快捷，激发了主动学习兴趣和求知欲，再次感悟了数学的奥妙和乐趣。点评：从以上的教学设计可以认识到，教材的处理和课堂教学设计对学生主体的学习兴趣、主动性思维培养和知识的主动牢固掌握及运用都是非常重要和有意义的。这样的教学设计通过课堂实践检验，证明其教学过程简洁、明确、省时，化被动启发为主动思考，从人为提示到自然意识，教学知识概念成
14、为了自觉的概念化过程。整个思维过程完全体现了学生的主动性思维，自然而流畅。在调动学生主体学习兴趣，探究热情，积极参与和培养主动性数学思维，以及对学生学习知识、掌握方法和灵活应用，完成教学目标等方面比传统的教学方法更有效果和优势。而且在主动思维过程中可以得到有用的重要方法，为后续学习提供基础。总之，作为数学教师，在具体的教学实践中，必须明确数学教育的本质和意义，正确理解教师主导和学生主体的关系，重视教育主体学生的自主学习，关注学生的学习兴趣和思维特点，体现“教之目的是学，学之根本在思”的教学思想，不仅“授人鱼”而更要“授人渔” ，在培养数学思维中有意识地培养自然自觉的主动思维，才能使我们的数学教育更扎实和高效，真正做到“教学相长” 。
