1、智浪教育- 普惠英才文库1第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共七大题，满分 160 分）一、 （20 分）如图所示，一块长为 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地mL0.1面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨） ，从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 。一小球 B 放在光滑的水平台面上，台面的右sT.2侧边缘正好在平板 P 端的正上方，到 P 端的距离为 。平板静止在其平衡位置。水球 B 与平板h89PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度 ，使它从水平台面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰0撞，碰撞时间极短
2、，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞， 的值应在什么范围内？取02/8.9smg二、 （25 分）图中所示为用三角形刚性细杆 AB、BC、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和 CD 杆可分别智浪教育- 普惠英才文库2绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链） 。当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45角，已知 AB 杆的长度为 ，BC 杆和 CD 杆的长l度由图给定。求
3、此时 C 点加速度 的大小和方向（用与 CD 杆之间的夹角表示）ca智浪教育- 普惠英才文库3三、 （20 分）如图所示，一容器左侧装有活门 ，右侧装有活塞 B，一厚度可以忽略的隔板 M 将容器隔1K成 a、b 两室，M 上装有活门 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔2掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置，隔板 M 固定在容器 PQ 处，使 a、b 两室体积都等于V0； 、 关闭。此时，b 室真空，a 室装有一定量的空气（容器内外气体种类相同，且均可视为理想
4、1K2气体） ，其压强为 4P0/5，温度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV，普适气体常量为R。1.现在打开 ，待容器内外压强相等时迅速关闭 （假定此过程中处在容器内的气体与处在容器外1K1K的气体之间无热量交换） ，求达到平衡时，a 室中气体的温度。2.接着打开 ，待 a、b 两室中气体达到平衡后，关闭 。拔掉所有销钉，缓慢推动活塞 B 直至到2 2过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中，隔板对 a 室气体所作的功。已知在推动活塞过程中，气体的压强 P 与体积 V 之间的关系为 恒量。VCRP智浪教育- 普惠英才文库4四、 （25 分）图中 oxy 是位于水
5、平光滑桌面上的直角坐标系，在 的一侧，存在匀强磁场，磁场方向0x垂直于 oxy 平面向里，磁感应强度的大小为 B。在 的一侧，一边长分别为 和 的刚性矩形超导线x1l2框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与 x 轴平行。线框的质量为 m，自感为 L。现让超导线框沿 x轴方向以初速度 进入磁场区域，试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度 大小的关系。0v 0v（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）智浪教育- 普惠英才文库5五、 （25 分）地球赤道表面附近处的重力加速度为 ，磁场的磁感应强度的大小20/8.9smg，方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与 成反比（r 为考察点到
6、地心的距TB501.3 3离） ，方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的距离 （ 为地球半径）处，存eR5在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层（层内磁场可视为匀强磁场） ，每种粒子的数密度非常低，带电粒子的相互作用可以忽略不计。已知电子的质量 ，质子的质量kgme310.9，电子电荷量为 ，地球的半径 。kgmp2710.C1906.641.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动，另一方面因受地球引力和磁场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流，试求此环行电流的电流密度。2.现设想等离子层中所有电子和质子，它们初速度的方向都指向地心，电子初速度
7、的大小，质子初速度的大小 。试通过计算说明这些电子和质子都不可能sue/104. smuP/104.32到到达地球表面。智浪教育- 普惠英才文库6六、 （25 分）图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为 yz 平面。y、z 轴的方向如图所示。线光源 S 通过 z 轴，双缝 S1、S 2 对称分布在 z 轴两侧，它们以及屏 P 都垂直于纸面。双缝间的距离为 d，光源 S 到双缝的距离为 l，双缝到屏的距离为 D， ， 。dl1.从 z 轴上的线光源 S 出发经 S1、S 2 不同路径到 P0 点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清
8、晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S形成的另一套干涉条纹，S位于垂直于 z 轴的方向上且与 S 平行，两者相距 ，则由线光源 S出s发分别经 S1、S 2 产生的零级亮纹 ， 与 P0 的距离0_y2.当光源宽度为 的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为 。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度_3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一
9、点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角 就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图 2 所示。M1、M2、M3 、M4 是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a）方向成 45角。S1 和 S2 是一对小孔，它们之间的距离是 d。M1 和 M2 可以同步对称调节来改变其中心间的距离 h。双孔屏到观察屏之间的距离是 D。a、 a和 b、 b分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线 a、 a垂直双孔屏和像屏，星光的波长是 ，试导出星体上角直径 的计算式。注：将星体
10、作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为 的矩形光源处理。图 1图 2七、 （20 分）今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百周年。王先生早在 1941 年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案： 原子核可以俘获原子的 K 层电子而成为Be7的激发态 ，并放出中微子（当时写作Li7*7)(i）智浪教育- 普惠英才文库7*77)(LieB而 又可以放出光子 而回到基态*7)(Liii7*)(由于中微子本身很难直接观测，能过对上述过程相关物理量的测量，就可以确定中微子的存在，1942 年起，
11、美国物理学家艾伦（R.Davis）等人根据王淦昌方案先后进行了实验，初步证实了中微子的存在。1953 年美国人莱因斯（F.Reines）在实验中首次发现了中微子，莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔（M.L.Perl）分享了 1995 年诺贝尔物理学奖。现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。若实验中测得锂核（ ）反冲能量（即 的动能）Li7Li7的最大值 ， 光子的能量 。已知有关原子核和电子静止能量的数据为evER6.5Mevh48.0； ； 。设在第一个过程中， 核是静止McmLi8432cmBe196532 evcme51.2 Be7的，K 层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据，算出
12、的中微子的动能 和静止质量 各为多少？Pm智浪教育-普惠英才文库8第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答：如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘 Q 处，这时 的值便是满足题中条件的最大值；0u如果小球的水平速度 较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘 Q 处越过而不与平板接触，这时 的值便是满足题中条件的最小值0u设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为 ，有1t（1）21hgt若碰撞正好发生在 Q 处，则有（2）01Lut从（1） 、 （2）两式解得的 值便是满足题中条件的最大值，即0u（3） 0max
13、2guLh代入有关数据得（4）0max.71/s如果 ，小球与平板的碰撞处将不在 Q 点设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为0maxu，则有1v（5）12ghv以 、 分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和1V平板在竖直方向的动量守恒设小球和平板的质量都是 m，则有（6）11Vv=因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得（7）2222210110muu解（6） 、 （7）两式，得（8）1v（9）2Vgh=碰撞后，平板从其平衡位置以 为初速度开始作简谐振动取固定坐标，其原点 O 与平板处于平衡位置时1板的上表面中点重合，x 轴的方
14、向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为 ，则平板在 t 时刻离0t开平衡位置的位移hP QB u0智浪教育-普惠英才文库9（10）PQcosxAt式中（11）2TA 和 是两个待定的常量，利用参考圆方法，在 t 时刻平板振动的速度（12）PQsinAtv因 时， ，由（9） 、 （11） 、 （12）式可求得0tPQxPVv（13）2ghAT（14）把（13） 、 （14）式代入（10）式，得（15）PQ2cos2ghxTt碰撞后，小球开始作平抛运动如果第一次碰撞后，小球再经过时间 与平板发生第二次碰撞且发生在 Q 处，2t则在发生第二次碰撞时，小球的 x 座标为（16）2B21xtgt
15、平板的 x 座标为（17）PQ22coshxtTt在碰撞时，有（18）B2PQ2xtt由（16） 、 （17） 、 （18）式，代入有关数据得（19）224.90.1costt这便是 满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）2t（20） 20.71st如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘 Q 处，则有（21）012Lut由（1） 、 （20）和（21）式得智浪教育-普惠英才文库10（22）012.46m/sLut而满足题中要求的 的最小值应大于（ 22）式给出的值综合以上讨论， 的取值范围是0u 0u（23）0.46/s.71/su附：（19）式的数值求解用数值解法则要代入 不同
16、数值，逐步逼近所求值，列表如下：2t2t0.730 0.750 0.760 0.765 0.770 0.771 0.772 0.775 0.780 0.790 0.81024.1cosPQxt3.31 3.12 3.02 2.96 2.91 2.91 2.90 2.86 2.81 2.70 2.482.90Bt2.61 2.76 2.83 2.87 2.91 2.91 2.91 2.94 2.98 3.06 3.21PQx0.70 0.36 0.19 0.09 0 0 -0.01 -0.08 -0.17 -0.36 -0.73二、参考解答：解法一因为 B 点绕 A 轴作圆周运动，其速度的大小为
17、（1）BlvB 点的向心加速度的大小为（2）2al因为是匀角速转动，B 点的切向加速度为 0，故 也是 B 点的加速度，其方向沿 BA 方向因为 C 点绕 D 轴作圆周运动，其速度的大小用 表示，方向垂直于杆 CD，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆 BC 方Cv向因 BC 是刚性杆，所以 B 点和 C 点沿 BC 方向的速度必相等，故有（3）2cos4lBv此时杆 CD 绕 D 轴按顺时针方向转动，C 点的法向加速度（4）2CnaD由图可知 ，由（3） 、 （4）式得2l（5）28Cnal其方向沿 CD 方向 下面来分析 C 点沿垂直于杆 CD 方向的加速度，即切向加速度 因为 BC 是刚性杆，所以 C 点相对 B 点的运动只能是绕 B 的转Cta动，C 点相对 B 点的速度方向必垂直于杆 BC令 表示其速度的大小，根据速度合成公式有CvCBvACDBaCnaC taC
