1、设有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于E。证明：因为 在上可测，由鲁津定理是，对任何正整数，存在的可测子集，使得， 同时存在定义在上的连续函数，使得当时，有所以对任意的，成立由此可得，因此即，由黎斯定理存在的子列，使得，于E2、设上的连续函数，为上的可测函数，则是可测函数。证明：记，由于在上连续，故对任意实数是直线上的开集，设，其中是其构成区间（可能是有限个，可能为可有为）因此因为在上可测，因此都可测。故可测。3、设是上的实值连续函数，则对于任意常数，是一开集，而总是一闭集。证明：若，因为是连续的，所以存在，使任意， 即任意是开集若且，由于连续，即，因此E是闭集。 4、（1）设求出集列的上限集和下限集证明：设，则存在N，使，因此时，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然若有，则存在N，使任意，有，因此若时，此不可能，所以（2）可数点集的外测度为零。证明：证明：设对任意，存在开区间，使，且所以，且，由的任意性得5、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。
