1、1抓方程思想本质 促方程思维提升【摘要】方程教学受学生思维定势、知识结构的影响；受学习材料、师源性障碍等诸多因素的限制，一直以来是小学数学教学的难点。因此，在教学中，要抓住方程思想的本质，提高思想认识，强化方程思维意识；加强渗透教学，开启方程思维之门；重视情境教学，刻画方程思维模型； 调整教学节奏，落 实方程思 维目标，提升学生的方程思 维品质。【关键词】方程思想 方程思维 提升“方程”是学生用代数思维分析现实生活中的数量关系的重要载体，是数学后续学习的重要基础。方程思想是一种重要的数学思想，其本质是从分析问题的数量关系入手，用方程的方式将两件事情在数学上的等价关系表达出来，然后通过解方程使问
2、题得到解决的思维方式，其核心成分是建模思想和化归思想，其蕴含着分析归纳、演绎推理、抽象概括的良好数学思维品质，是算术思维到代数思维的飞跃。北师大版的小学数学教材把“方程”的教学安排在四年级下册第七单元，但几年来在对北师大版教材中的方程内容及后续内容的教学中却发现，学生在解决问题的过程中，主动选择用方程来解的学生不多，并且正确率也不高，能选择用算术方法解决问题的一般都不会用方程来解决。为此，笔者所在课题组曾对本校五年级 284 名学生进行了一次专项调查，得到了如下一组数据：学生人数题目 用方程解人数占全部百分比正确人数用算术解人数正确人数 未解决人数284 1 98 34% 91 183 170
3、 3284 2 89 31% 76 178 142 17284 3 22 8% 11 214 76 48表中的数据揭示了一个问题：为什么早已是小学数学重要学习内容之一的方程知识却被学生排斥呢？就此，笔者在走访、调查了大量学生、教师的基础上作了如下几个方面的归因分析。1思维定势的影响2学生从一年级开始，一直是学习用“10-7=（ ）”的算术方法解决类似“7+（ ）=10” 这样的 问题，用算术方法解决问题的思维方式已经形成定势，解决问题时一想就想到用算术方法，而不再考虑用其他方法来解决，诚然方程法也被排除在外。而方程思维则要求未知数参与列式、运算，即对不同的问题应采用同样的数量关系来思考，这对部
4、分学生来说较难理解。2知识结构的缺失方程的学习过程中有两点特别重要：一是抽象概括能力；二是运筹和思维的条理性。在教学实践中也发现，四年级的学生在与方程思想相关联的知识与能力的储备方面都比较缺乏，主要表现在：一是不适应用符号代表数。北师大版教材中首次出现字母是在一年级下册测量长度中，而首次引入用字母表示数则在四年级上册的运算定律的学习中，这对用字母等符号代表数的不熟练，导致了学生在四年级下册学习方程的初步知识时显得束手无策。二是等式的意义及等量关系不熟练。等式的意义与数量间的相等关系是用方程描述相关事件的关键所在，数学问题中有的等量关系很明显，而有的却不明显，此时，如果学生不理解等式的意义，脑中
5、没有基本的等量关系，没有将复杂的数量关系进行分解的能力，那么用方程思维来思考问题并解决问题就成了无源之水，无本之木。3学习材料的原因（1）教材把解方程的教学与用方程解决问题的教学融合在一起，对于学生来说，在探索解方程方法的同时又要掌握用方程解决问题的策略，短时间内难以接受。如教材安排了“天平游戏” ，要求学生通过学习来理解等式的基本性质，并运用等式的基本性质解方程。在教学实践中发现教材这样的编排跨度太大，过高地估计了学生的接受能力，学生不仅不能顺利地掌握解方程的方法，同时也给后续学习造成了许多基础性的障碍。（2）教材一开始出现的是一步就可以解决的问题，学生用算术法很容易就解决，从而无法深刻体会
6、到用方程解决问题的优越性与必要性，导致了学生本能地产生选易避难的学习心理。4师源性障碍因素（1）从一年级开始，教师在教学中就扼杀了学生的方程思维的萌芽，刻意抑制学生用方程思想解决问题，从而让学生从低年级开始就认为只有算术方法解决问题最好。（2）教师在引入方程以前对学习方程3知识所必需的“符号感的建立、相等关系的表述”等认知结构不加以重视。（3）长期以来，为了提高小学生用方程解决问题的正确率，教师对方程教学的设计、处理过于理想化，很多时候让学生直接找到所谓的“关键句” ，得到等量关系，列出方程解答问题，淡化了从现实情境到数学表达的抽象过程。为切实解决上述问题，近年来，笔者所在学校的课题组进行了一
7、些有益的探索与实践。在此，谈谈我们在研究此问题时总结的一些方法与策略。一、提高思想认识，强化方程思维意识作为教师要认识到，在小学数学中体会方程思想、形成方程思维是一个潜移默化、逐步领悟认可的过程，虽然四年级开始才是方程内容教学的起始阶段，但是一年级的小朋友脑中早已有了方程思维的萌芽。如：一年级上册 P.36：冰山上原来有 9 只企鹅， 现在还站着 3 只企鹅，冰山后面有几只？在解决这个问题时，有相当多学生出现了“先写出 3+（ ）=9，再在（ ）内填上 6”的思维方式。数学教师要允许学生这种思维方式的存在并予以正面的评价，保护学生脑中不多的方程思维萌芽，让学生尽早接触方程思想，避免学生形成思维
8、定势。学生在学习方程知识时，会出现许多的学习困难。此时，教师要明确方程学习的意义所在，对学生的学习行为与学习方法进行正确的指导，坚持持续发展观念，不急功近利，不为了短期的“收益”而放弃对方程思维的训练。二、加强渗透教学，开启方程思维之门方程知识是小学数学第二学段的学习内容，但在对一至三年级的现行教材内容进行梳理的过程中，笔者发现在第一学段教材中许多学习内容的背后蕴含着方程思想元素，如符号感、等式的意义、等式的性质及等量关系等。如下表（表中及本文所提教材均为北师大版教材） 。版别 页码 教材内容 内容分析P.13 用“”“”表示 这是一个典型的数学符号化过程P.21 比轻重 用天平怎么表示左右两
9、边质量相等，等量替换P.31 填数，如“ 3=4” 条件等式，等式的性质，方程的雏形一上04 版P.82 情境图：用减法解决问题 等量关系：包里的书+外面的 4 本书= 一共 11 本书4P.26 填“”“”或“=” 等号的意义、等式的意义P.65 画出跷跷板 等式的意义一下03 版P.82 今天我当家 购物中的数量关系（等量关系）P.72 68=67+=69 等式的意义二上06 版 P.88第 3 题：解决数学问题 数量关系的转换P.14 第 3 题：解决数学问题 购物中的数量关系（等量关系）二下03 版 P.51 填什么数才能打中？等式的意义与性质P.7 爸爸、妈妈体重各多少？ 关于“倍”
10、的等量关系三上06 版 P.62练一练：解决数学问题 理解各种数量关系P30 解决数学问题 理解各种数量关系三下05 版 P.53认识分数 数学建模：用自己的符号表示到运用数学符号表示在教材中，这些方程思维元素有的作为单独一个内容编排，有些并非独立存在，而与其他知识相融合。所以，数学教师要有“大方程”观念，当教学过程中使用这些学习素材时，要充分挖掘其中的方程思维元素，有意识地从低年级开始渗透方程思想，让方程思维“无痕”地出现在学生的数学学习活动中，让学生提前体会方程的思维方式，从而减少思维定势，降低方程教学的难度，使学生在潜移默化中建立与方程思维相关的知识结构。（1）符号感的培养：= = 如上
11、左图这个素材，学生理解图意后，先用 图片与等号来表示天平上的水果质量间的关系（见上右图），再引导 学生思考：如果用字母 a 表示梨、b 表示苹果、c 表示桔子，那么上述等式可以怎么表示呢？(2 a = 6 c 、2 b = 4 c)5同样的，在数的运算、计算公式、寻找规律等学习内容中，都可以适当地渗透字母，让学生感受用字母表示数、数量关系的方法，降低对字母的陌生感，并且经历“直观图、形象图、字母表示”的符号化过程。（2）等式意义的理解如在第一学段的教材中多次出现“在里填上 或=”的练习题。教材主要想让学生通过这种的练习，训练 学生利用口算的方法比较两个算式的大小，有的也可以通过观察算式的变化规
12、律直接填出符号。从方程思想渗透的角度教学，教师可以让学生思考：符合什么条件的算式才可以填上等号，充分体会等号的意义、等式的意义。再如一年级上册第 31 页编排了“5-=3、 3=1+、=5” 等一组练习，教材的 编写意图是“让学生初步体会加减的互逆关系” 。这些习题与方程在形式上非常相似，只不过这里是引导学生利用“加减的互逆关系”进行解决。教学中可以介入关于“等式性质”的知识，像“=5”是一个条件等式，两个方框内所填的数之和是 5，这个等式就成立。其实这也是一个二元一次不定方程的雏形。（3）等量关系的提炼等量关系是列方程的依据、关键所在。找出数量间的相等关系，对于学生来说有一定的难度，所以数学
13、教学要注重对基本等量关系的提炼，让学生在解决问题同时明确数量间的相等关系，多角度提高学生提炼等量关系的能力。 利用好大括号、线段图一年级上册“和是 9 的加法及相应的减法”中首次出现了大括号，教材中多次出现用大括号来说明几个数量间的关系。如：图中的大括号直观、形象地向学生展示了其中的等量关系：苹果的个数 + 梨的个数 + 桔子的个数 = 总个数62 个苹果 + 4 个果 + 袋子内的苹果 = 9 个苹果用线段图表示数量关系是数学学习的一种重要方法，利用这种数形结合的方式，可以让学生更顺利地寻找、理解问题中隐含的等量关系。如：妈妈今年 35 岁，比小明的年龄的 4 倍少 1 岁，小明今年几岁？在
14、解决问题时，部分学生会把“少 1 岁”理解错，数量关系中用“1”来表示，如果画出线段图，让线段图作为方程思维的载体，学生就可以清楚、熟练地找到数量关系，进而掌握用方程思维解决问题的策略。小明 1 岁妈妈 ？岁35 岁小明年龄的 4 倍 = 妈妈的年龄 35 岁+1 岁，也就可以列出方程：4X=35+1 分析透等量关系从一年级开始，教师在解决问题的教学中要注重问题中等量关系的分析，让学生从数量关系入手来掌握解决问题的策略，构建方程思维必备的基础知识结构。在开始学习解决问题时，不要只引导学生理解每个数量的意义，而应该多让学生说说为什么这样算，从而学生明确自己解决每个问题实际上需要思考清楚问题中各个
15、数量间的关系。对于一些特定的等量关系还可以将它们抽象出来，比如“速度时间=路程、单价数量=总价”等等。在引导学生分析数量关系时，要让学生掌握一些行之有效的寻找等量关系的方法。三、重视情境教学，刻画方程思维模型方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，又是一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。方程的学习实际上是让学生先用自己的语言或方式描述相关事情或问题，再抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，进而解决有关问题。这个过程看似复杂，却恰恰与现行的小学数学教材编排特点相一致。现行的小学数学教材中大量的情境提供了数学学习的素材，学生通过学习活动，学会在现实生活中错综复杂的事情中抽象出最本质的数学
16、问题，将复杂的问题简单化。这也正是学生有效形成方程思维所要求的、所需要的环节。所以，教师要用好各种情境，注重用生活语言描述事件，逐步加强用数学语言描述等式的训练，将现实世界中的等量关系不断数学化，符号化，让学生形成良好的方程思维模型。为此，我们的教学要让学生的学习过程遵7循“感性理性应用”的辩证过程，突出“问题情境建立模型拓展应用”的板块结构来构建学生的思维习惯与思维方式。如右图这个情境中，信息出示的形式多样，信息量大。教学中就引导学生先说一说了解到哪些信息，再用自己的语言进行表述，然后分析这些数量间的关系，得到数量关系式：“买一套科普 丛书的钱 +买一套少儿童话的钱=共花去的钱” 、“科普丛
17、书、少儿童话各买一本的钱每套丛书的本数= 共花去的钱”，最后找到未知量用字母表示并列出方程。这样的学习过程思路清晰、有条理，有效地刻画了方程思维模型，长久坚持这样的教学活动，能高效地引导学生建立起方程思维模型。四、调整教学节奏，落实方程思维目标方程，对于小学生来说是抽象的。北师大版小学四年级方程内容的编排虽然已经考虑到学生的学习基础与年龄特征，但在教学实践中还是觉得教学内容多，课时安排偏少，学生不能理解透、掌握情况不理想。这与北师大版教材的编写特点有关，教材采取了“大步子”教学的设计，给教师预留了空间。所以，教师要根据学生实际的学习水平，充分利用学生的相关知识基础，灵活地采用“小步子”教学，科
18、学地调整教学进度，使学习活动建立在学生实际学习水平之上，跳一跳可以摘到“方程思想”这个桃子。笔者所在课题组结合学生的实际情况，认为对四年级下册第七单元内容的教学作一些调整则更为合理（如下表所示）：原计划 建议调整学习内容课时数学习内容课时数用字母表示数 2用字母表示数用字母表示数量关系、简易代数式的化简128方程 2用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的意义用方程表示主题图情境中较复杂的等量关系用方程表示文字表达情境中较复杂的等量关系3等式性质（一）等式性质（二） 2等式的性质（一）等式的性质（二）运用等式的性质解稍复杂的方程3解方程（一） 2用方程解决含有一个未知数的简单问题用方程解决稍
19、复杂的实际问题3解方程（二） 2用方程解决含有两个未知数的简单问题用方程解决稍复杂的实际问题3教学中还要充分用好教材提供的学习素材，设计富有意义的、富有挑战的学习活动，让学生体会用方程解决问题的优越性与必要性。如在学习“邮票的张数”这一内容时，可以让学生自己先用算术方法独立解决，学生会发现很难理清思路，无从下手。此时，教师引导学生分析信息、画出线段图、找出等量关系并用方程表示。这样的过程条理清楚，学生很容易理解解题思路，顺利解决了问题，也体会到了用方程解决问题的优越性。方程是学生从算术学习转向代数学习的重要转折点，在思维方式上是一个飞跃。在现阶段，学生或许无法直接体现出方程思想在解决问题上的优越性，但随着数学知识的深化，一些复杂的问题就能明显地显示出用方程解决问题的简洁性与方便性。所以，在教学过程中，教师要转变自己的教学观念，抓住方程思想本质，用多种方法不折不扣地完成小学数学学习中方程教学的任务与目标，促进小学生方程思维的提升。
