1、12017 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题:目要求的.(1) 若函数 在 处连续，则 （ 1cos,0()xfxabx）(A) (B) (C) (D) 12ab120ab2ab(2) 设函数 可导，且 则 （ ()fx()0,fx）(A) (B) (1)f(1)f(C) (D) )f ()f(3) 函数 在点（1,2,0）处沿向量 的方向导数为 （ 2(,.xyzz,2u）(A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 2(4) 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，
2、图中实线表示甲的速度曲线（单位：m/s） ，虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为 10, 1()vt 2()vt20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s） ，则0t(A) (B) 01t052t(C) (D) 05t025t2(5) 设 为 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则 （ nEn）(A) 不可逆 (B) 不可逆 E(C) 不可逆 (D) 不可逆22(6) 已知矩阵 ， ， ，则 （ 01A10B102C）(A) 与 相似, 与 相似 (B) 与 相似, 与 不相似 CAB(C) 与 不相似, 与 相似 (D) 与 不相似, 与 不相似 (7) 设 为随机概
3、率，若 , ,则 的充分必要条件是,AB0()1P()()()PA（ ）(A) (B) ()()PA()()BA(C) (D) BP(8) 设 为来自总体 的简单随机样本，记 则下列结论正确1,2.()nX(,1)N1nix的是 （ ）(A) 服从 分布 (B) 服从 分布21()niix2x21()nxx(C) 服从 分布 (D) 服从 分布21()niiX22()X二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.:(9) 已知函数 ，则 2()fx(3)0f(10) 微分方程 的通解为 yy3(11) 若曲线积分 在区域 内与路径无关，则 21Lxday 2(,)|1Dxya(1
4、2) 幂级数 在区间 内的和函数 1()n(,)()S(13) 设矩阵 ， ， ， 为线性无关的 维列向量组，则向量组 ，012A2331A， 的秩为 2A3(14) 设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布X4()0.5().()2xFx()x函数，则 E三、解答题：1523 小题,共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数 具有 2 阶连续偏导数， ，求 ，(,fuv(,cos)xyfe0xdy20x(16)(本题满分 10 分)求 21limln(xk(17)(本题满分 10 分)已知函数 由方程 确定，求 的极值.(y320xy(
5、)yx(18)(本题满分 10 分)设函数 在区间0,1上具有 2 阶导数，且 ， ，证明：(f (1)f0limxf()方程 在区间（0,1）内至少存在一个实根；)0x()方程 在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。 2()0ffx(19)(本题满分 10 分)设薄片型物体 S 是圆锥面 = 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度z2y2zx为. 记圆锥面与柱面的交线为 C.()求 C 在 平面上的投影曲线的方程；xOy4()求 S 的质量 M.(20)(本题满分 11 分)设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值，且 .12,A312()证明 ；(r()若 ，求方程组 的通解.123Ax
6、(21)(本题满分 11 分)设二次型 在正交变换 下的标2212313132, 8fxaxxQy准形为 ，求 的值及一个正交矩阵 .21yaQ(22)(本题满分 11 分)设随机变来那个为 ， 相互独立，且 的概率分布为 的XYX102,PXY概率密度为 2,01yf其 他()求 ;)PYE()求 的概率密度.ZX(23)(本题满分 11 分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 .该工程师记12,.nX2,N录的是 n 次测量的绝对误差 ，利用 估计 .,iiZ 12,nZ()求 的概率密度；iZ()利用一阶矩求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量.
