1、智浪教育-普惠英才文库12011 年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1. 答案：B.解析：不等式 成立的充要条件是 ，故充分而不必0)1|(x 1|x且要的条件选 B。2. 答案：D.解析：本题应知“ 共线，等价于存在 使 且 ”。PA, ,RMBAP1故选 D。3. 答案：A.解析：由 ，知 ，所以 ，即13)()xf 13)6()3(xff )6()xff是周期函数，周期为 6所以 选 A()fx 2134(544. 答案：C.解析：由已知可得 ，又由 - 得 ，代入得 ，2(1)yxz 2zx3xy从而 ，再代入，得 . 故选 C .43
2、zyy5. 答案：D.解析： 令 ， ， ，在 上， 为减函数，()ufalgt3ax1,3tax为增函数. 要使 上 为减函数， 应为增函数，故 . lgut1,x()f()uf 1为了保证 在-1,1 上 恒成立，只需 ，即 . 30tmin0txf3因此， . 故选 D .1a6. 答案：C.解析：由 得 ，又 ， 中1nx11()()()22nxn)21(n)21(n必有一个是正整数，且 ， 故 . 选 C .a智浪教育-普惠英才文库2二、填空题（每小题 9 分，共 54 分）1答案：250.解析：因为 ， ，所以 . 又12()nnaS192aS12na， 。所以，当 时， ， ；当
3、 时，50a605nnb0nTS5， .所以 . 故 nb252(1)10nnTS2()1n.20102答案： .4a解析：易得 ，设 ， ，要使 ， 只)3,1(Aaxfx12)( 5)7(2)(xaxg CBA需 、 在区间 上的图象均在 轴下方，其充要条件是 ，)(xfg, 0)1(f， ，由此推出031(0)3(,.14a3答案： .解析：由 ，知 . 设 ，则由题意有2245(1)3yxx(,3)(,)bxy，解得 ， 所以 .0xy,1b4答案：92.解析：易知 ，所以 不是最大的. 数列 的最大项 应满足 12a1anana， 从而有 ，即 .1n19391nnn 19()(3)
4、082n 由式可得 ，由式可用反证法证得 . 因此，当 取得最大值时9392nna.92n5答案： .x解析：由已知有 ，设 ，则201201(6)()()xx201()fx智浪教育-普惠英才文库3.因 在 上单调递增，故 ， . (6)(fxfx()fR6x3x6答案： 或 .123解析：设 ，记 ，其中含有 个 ，则)0()(abxf )()(xfxfnnf，1)( 22 abxf ).1()()( 233 abxxf以此类推有 .()00891010 由题设可知 且 所以 或24a.1023)(ab1,2ba.3,2ba即 或 。2)(xf)(xf三、解：由已知等式有 ，由正弦定理得 2
5、cab， 22sinisinCAB即： 2sinco2cs2sinisn)i)( ACACBAC 5 分ssisi从而有 CA180in)( 或所以 （舍去）. 10 分1802C或又因 ，由正弦定理得 . 而cosabsin2sincoAAB，代入，得sini()in(3)BA 15 分2cs3i2，3sicoosiin18032AAA或从而有 （舍去） 或 ，0A 40所以 ， . 20 分28C6B四、解：将 代入 ，得 ，从而方程 的两根分别1x25xm4250xm为 1、4，且由题设可知 ，方程 的两根为正实数. 0n10n5 分智浪教育-普惠英才文库4若 4 是该等比数列的第 2
6、项，则方程 的两根应为 16、64，这210xn不符合韦达定理；若 4 是该等比数列的第 4 项，不符合韦达定理； 10 分若 4 是该等比数列的第 3 项，则方程 的两根应为 2、8，符合210xn韦达定理，此时 . 151284mn分同理，将 代入 ，得 ，从而方程 的两根分1x20xn9210xn别为 1、9，均不合题意. 20分五、解：易知 的反函数是 ， 5 分()2xfa12()log()fxa于是由题意，有 . 123log,log,0yyay而 ，所以 ， 132y2()x即 ，等价于 10 分22logl()xa)3(021(xa由(1)，得 ，所以有判别式 0. 22(1)0x24184a当 时，即 时，方程有且只有一个实数解 ，满足条件要求；0ax15 分当 ，即 时，方程有两个相异实根： ， .1212xa212xa易见， 满足要求 . 要使 不满足要求，应有 ，解得 .1x2x0综合上述，可知当 或 时有且只有一个实数 满足条件. 20 分a0x
