1、第十五讲 数学竞赛试题选讲例 1 计算：（1+3+5+1989）-（2+4+6+1988）（1988 年北京市小学数学奥林匹克邀请赛试题）解法 1：原式=（1989+1）22-（19882）（19882+1）=9952-994995=995（995-994）=995解法 2：去括号，得原式=1+3+5+1989-2-4-6-1988=1+（3-2）+（5-4）+（1989-1988）=995说明：解法 1 是应用两个常见的公式：前 n 个奇数的和1+3+5+（2n-1）=n2前 n 个偶数的和2+4+6+2n=n（n+1）解法 2 是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算（加
2、法）转化为高级运算（乘法）例 2 计算：1+2+3+4+99+100+99+4+3+2+1解：运用加法的交换律与结合律，得原式=（1+99）+（99+1）+（2+98）+（98+2）+（50+50）+100=100100=10000说明：由本例可以推广为一般公式：1+2+3+（n+1）+n+（n-1）+3+2+1=n2例 3 计算：12+23+34+100101分析 根据题目数据的特点，把各加数作如下恒等变形：12=（123）3；23=（234-123）3；34=（345-234）3；100101=（100101102-99100101）3；然后运用拆项对消的方法即可计算出和式的结果解：原式=
3、123+（234-123）+（345-234）+（100101102-99100101）3=123+234-123+345-234+100101102-991001013=1001011023=343400说明：本题可以推广为一般公式：12+23+34+n（n+1）=n（n+1）（n+2）3例 4 计算： 解：因为111111111=912345679，于是有（由乘法结合律）例 5 在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：10 6 9 3 2=48（1994 年北京市小学生“迎春杯”决赛试题）解：填法不唯一下面给出几种常见的填法：106-（9-3）2=48；（10+6）（9-32
4、）=48；10+6（9-3）+2=48；10（6+9）3-2=48；（10+6）（9-3）2=48说明：在欧美流行一种数学游戏：试用 4 个给定的自然数经过四则运算的结果等于 24本例与这种游戏是类似的，它们对于发展学生的数学思维是十分有益的例 6 右图中六个小圆圈中的三个分别填有 15、26、31 三个数而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是_解：设 15 与 26 之间的圆圈里的数是 a，26 与 31 之间的圆圈里的数是 b，15 与 31 之间的圆圈里的数是 c，依题意，有a+b=26，b+c=31，a+c=15；于是可知 2
5、（a+b+c）=26+31+25，即 a+b+c=36；因此，最小数是： a=36-31=5b、c、d、e、f、g、h 是 0、1、2、9 中的 8 个不同整数且a分析 本题可转化为如下数字迷：解：先确定 g=0，c=9假设竖式加法中，十位数字 g0 或者个位数字 h+410，则百位上的数字 b=f，不合题意因此，可以推断 g=0 且 h+410于是 c=9a，则取 a=8，而 f0=g 且 f=b+1，故有 f+910，于是 e=6；其次应该使百位数字 b 尽可能大，由 b 与 f 是相邻自然数，则取 b=4、f=5；最后令个位数字 d 尽可能大，则取 d=7，故有 h=3这样就得到 A 的
6、最大值为：8497+6503=15000类似地，要使 A 尽可能小，依次取a=3、e=1，b=4、f=5，d=6、h=2这样就得到 A 的最小值为：3496+1502=4998例 8 如右图，AB、CD、EF、MN 互相平行，则右图中梯形的个数与三角形的个数相差多少？解：首先计算右图中三角形的个数由于所有三角形都以 O 点为顶点；且以 AB 或 CD 或 EF 或 MN 上的线段为底的三角形各有：4+3+2+1=10（个）因此，图中一共有三角形：104=40（个）其次计算上图中梯形的个数由于从 AB、CD、EF、MN 中任意选出两条为上、下底时各有梯形：4+3+2+1=10（个）而从 4 条线
7、段中选出两条线段的不同选法有（43）2=6（种），所以，上页图中一共有梯形106=60（个）于是上页图中梯形个数与三角形个数相差60-40=20（个）例 9 如下图（1），由 18 个边长相等的正方形组成的长方形 ABCD 中，包含“*”在内的长方形及正方形一共有多少个？分析 本题是有条件限制的几何图形的计数问题，为了不重不漏，必须适当分类计算解：按照竖直方向上线段的长度分三类进行计数：高是 1 个单位长度（如上图（2）时，实质上是计算在底边 AB上包含线段 EF 的线段数为了方便起见，又分四种情况讨论：1包含 AFFA的长方形有 AFFA、AGGA、ABBA，共3 个；2包含 MFFM的长方
8、形（不在 1中的）有MFFM、MGGM、MBBM，共 3 个；3包含 NFFN的长方形（不在 1、2中的）有NFFN、NGGN、NBBN，共 3 个；4包含 EFFE的长方形及正方形（不在 1、2、3中的）有EFFE、EGGE、EBBE，共 3 个总计包含“*”的长方形及正方形有：34=12（个）高是 2 个单位长度（如下图（1）时，类似情况（1），总计包含“*”的长方形及正方形有：34=12（个）高是 3 个单位长度（如上图（2）时，总计包含“*”的长方形及正方形也有：34=12（个）综上所述，长方形 ABCD 中包含“*”的长方形及正方形一共有：123=36（个）例 10 如右图，在 58
9、 的长方形中，挖去一个 14 的长条（阴影部分）请把它划分成两部分，使它们能拼成一个正方形解：从长方形 ABCD 中挖去阴影部分后剩下的面积是58-4=36由此可知，拼成的正方形的边长是 6根据这一要求，并且考虑分成的两部分如何拼合，就会得出如下用虚线表示的划分（如下图（1）所示）：用上述划分后拼成的正方形如上图（2）例 11 用 6 个 12 的长方形拼成一个 26 的长方形（如右图），一共有多少种不同的拼法分析 研究用 12 的长方形拼成 2n 的长方形的方法，从简单情况入手，逐次讨论： 当 n=1 时，显然只有 1 种拼法；当 n=2 时，22 的长方形有下图（a）及图（b）两种不同的拼
10、法；当 n=3 时，23 的长方形的拼合问题分两类（如下图（c）及图（d）：图（c）即转化为 21 的长方形拼合问题，由可知，仅有一种拼法；上图（d）即转化为 22 的长方形拼合问题，由可知仅有 2 种拼法于是 23 的长方形的拼法一共有：1+2=3（种）；当 n=4 时，24 的长方形的拼合问题亦分为两类（如图（e）及图（f）：图（e）即转化为 22 长方形拼合问题，图（f）即转化为 23 长方形拼合问题，由和可知，24 长方形的拼合方法一共有：2+3=5（种）；当 n=5 时，类似、的情况两类拼法，25 的长方形的拼法一共有：3+5=8（种）；当 n=6 时，26 的长方形的拼法一共有：5
11、+8=13（种）说明：上述解决问题的方法常称为归纳递推的方法，今后还要专门介绍例 12 某车间原有工人不少于 63 人在 1 月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都再调 1 人进车间工作现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品，共生产 1994 件试问：1 月几号开始调进工人？共调进了多少工人？解：因为原有工人不少于 63 人，并且1994=6331+41，1994=6431+10，19946531，所以，这个车间原有工人不多于 64 人，即这个车间原有工人 63 人或 64 人这个车间原有工人 1 月份完成产品是6331=1953 或 6431=1984（件）于是可知，余下的 41 件
12、或 10 件产品应该表示为连续自然数之和据已知，不能是 1 月 31 日调进工人，设第一天调进 x 名工人，共调入 n 天，那么显然 2n8事实上，九个连续自然数之和最小为1+2+3+4+5+6+7+8+9=4541经检验，当 n=2 时 x=20，并且有：20+21=41；当 n=4 时 x=1，并且有：1+2+3+4=10答：从 1 月 30 日开始调进工人，共调进工人 21 名；或者从 1 月 28日开始调进工人，共调进工人 4 人说明：本题是用于考查学生掌握连续自然数求和及解决实际问题的能力习题十五1计算：1-2+3-4+5-6+-98+992计算：8888888888（1+2+3+4
13、+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）3计算：1112+1213+1314+50515试在 15 个 8 之间适当的位置填上适当的运算符号+、-、，使运算结果等于 1986：888888888888888=19866在右图中所示的三角形三边之长互不相等，现在要将1，2，3，4，5，6 这六个数分别填入三个顶点及每条边的中点的圆圈内，如果要使每条边上的三个数字之和都等于 10，那么符合上述条件的不同填法一共有多少种？8下图（1）中每个小方格都是正方形，那么下图（1）中大大小小的正方形一共有多少个？9将上页图（2）分割成四个形状和大小相同的图形，然后将分得的四个图形拼合成一个正方形10某工厂 11 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人 240 人如果月底统计总厂工人的工作量是 8070 个工作日（1 人工作1 天为 1 个工作日），且无 1 人缺勤那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共_人习题十五解答150212345432134376042435（答案不惟一）88888+888-888-88-88=198666 种710898709分法不惟一；右图即为一种分法1060
