1、第 1 页 共 16 页概率与数理统计课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程概率与数理统计 （编号为 01008）共有计算题 1,计算题2 等多种试题类型，其中，本习题集中有等试题类型未进入。一、计算题 11. 设 A，B，C 表示三个随机事件，试将下列事件用 A，B，C 表示出来。(1) A 出现，B、C 不出现；(2) A、B 都出现，而 C 不出现；(3) 所有三个事件都出现；(4) 三个事件中至少一个出现；(5) 三个事件中至少两个出现。2. 在分别标有 1,2,3,4,5,6,7,8 的八张卡片中任抽一张。设事件 A 为“抽得一张标号不大于 4 的卡片
2、” ，事件 B 为“抽得一张标号为偶数的卡片” ，事件 C 为“抽得一张标号为奇数的卡片” 。试用样本点表示下列事件：（1）AB；（2）A+B ；（3） ；（4）A-B；（5） B3. 写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；（2）对一目标射击，直到击中 4 次就停止射击的次数；（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。4. 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与 C 不发生；（2）A，B，C 都发生；（3）A，B，C 中不多于一个发生。5. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、
3、C 分别表示甲、乙、丙命中目标。第 2 页 共 16 页试用 A、B、C 的运算关系表示下列事件：（1）至少有一人命中目标（2）恰有一人命中目标（3）恰有二人命中目标（4）最多有一人命中目标（5）三人均命中目标6. 袋内有 5 个白球与 3 个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8. 某地区的电话号码由 7 个数字组成（首位不能为 0） ，每个数字可从 0，1，2，9中任取，
4、假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为 24 的概率。9. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数 1，2，3，4，5，6） ，观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10. 一批零件共 100 个，其中次品有 10 个，今从中不放回抽取 2 次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。11. 设连续型随机变量 X 的分布函数为00)(2xBeAxFx求（1）系数 A 及 B；（2）X 的概率密度 ；（3）X 的取值落在（1，2）内的概率。()fx12. 假设 X 是连续随机变量，其密度函数为2,0()cxf其 他求：（1）c 的值；（2）
5、 (1)PX13. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 ，(,)(arctn)(arctn)FxyABxCy求常数， (),(x14. 设随机变量 X 的分布函数为第 3 页 共 16 页0,1()ln,XxFe求 ；（2）求概率密度2,035PPX ()Xfx15. 设随机变量 的概率密度为21(),)0,xfx其 他 .16. 设随机变量 X 的概率密度为 ，求 E(X)，D(X)。其 它0110)(xxf17. 设 X 的概率密度为 ，试求|X|的数学期望。02)(xexfx18. 搜索沉船，在时间 t 内发现沉船的概率为 （0） ，求为了发现沉船所需的1te平均搜索时间。19. 设
6、服从参数为 的指数分布，即有密度函数,0()xef其 他求： 。2EX（ ） ， （ ）20. 称为对随机变量 X 的标准化随机变量，求 。*()xD )()(*XDE及二、计算题 221. 已知 XB(n,p)，试求参数 n,p 的矩法估计值。第 4 页 共 16 页22. 设总体 X 在a,b上服从均匀分布，试求参数 a,b 的矩法估计量。,01),(baxbaxf23. 设 的样本，求 的最大似然估计。21,NnX是 来 自 （ ， ） 2，24. 设有一批产品。为估计其废品率 p，随机取一样本 X1，X 2，X n，其中（i=1,2,n）取 得 废 品取 得 合 格 品10i则 是 p
7、 的一致无偏估计量。niiXp125. 设总体 的均值 及方差 都存在，且有 。但 ， 均未知。又设2202是来自 的样本。试求 ， 的矩估计量。12,.n26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差 2=5000（小时 2）的正态分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了 26 只这种电池测出其寿命的样本方差 s2=7200（小时 2） 。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取 a=0.02，查表见后面附表）?概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z 0 1 2 3 4 5 6 71.8 0.9641 0.
8、9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.96931.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.97562.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.99322.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 2分布部分表n a=0.995 a=0.99 a=0.05 a=0.025 a=0.01 a=0.00524 9.886 10.856 36.415 3
9、9.364 42.980 45.559第 5 页 共 16 页25 10.520 11.524 37.652 40.646 44.314 46.92826 11.160 12.198 38.885 41.923 45.642 48.290常用抽样分布 )1,0(NnXU)(/tST)1(1222nn27. 某电站供应 10000 户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为 0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：1、 同一时刻有 8100 户以上用电的概率；2、 若每户用电功率为 100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以 0.975 的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附
10、表标准正态分布部分表Z 0 1 2 3 4 5 6 71.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.96931.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.97562.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.99322.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 2分布部分表n a=0.995 a=0.99 a=0.05 a=0.02
11、5 a=0.01 a=0.00524 9.886 10.856 36.415 39.364 42.980 45.55925 10.520 11.524 37.652 40.646 44.314 46.92826 11.160 12.198 38.885 41.923 45.642 48.290常用抽样分布第 6 页 共 16 页)1,0(NnXU)(/tST)1(1222nn28. 某种电子元件的寿命 x（以小时计）服从正态分布，, 2均未知，现测得 16 只元件，其样本均值为 ，样本标准方差为 S=98.7259。问是否有理由认为元件的平5.41均寿命大于 225（小时）？T 分布表N a=
12、0.25 a=0.10 a=0.05 a=0.02513 0.988 1.502 1.7709 2.160414 0.6924 1.3450 1.7613 2.144815 0.6924 1.3406 1.7531 2.131516 0.6901 1.3368 1.7459 2.119929. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布 N(4.55，0.108 2)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）标准正态分布部分表Z 0 1 2 3 4 5 6 71.8 0.9641 0.964
13、8 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.96931.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.97562.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.99322.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949常用抽样分布)1,0(NnXU)1(/ntSXT)1()1(222nSn30. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布 N(4.55，0.108 2)。
14、现在测了五炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）第 7 页 共 16 页标准正态分布部分表Z 0 1 2 3 4 5 6 71.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.96931.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.97562.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.99322.5 0.9938 0.99
15、40 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949常用抽样分布)1,0(NnXU)1(/ntSXT)1()1(222nSn答案一、计算题 11. 解：（1） ；（2） ；（3）ABC；（4） A+B+C；（5）AB+BC+CA（每ABC个 3 分）2. 解：（1）AB=2 ，4；（2）A+B=1，2，3，4，5，6，8 ；（3） =1，3，5，7；（4）A-B=1 ，3 ；（5） =1,2,3,4,5,6,7,8（每个 3 分）BC3. 解：（1）（HH） （HT） （TH ） （TT）（2）4，5，6，（3）(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)
16、其中：1 为一号球，2 为二号球（每个 5 分）4. 解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为 。ABC（2）同理，该事件可表示为 ABC。（3） （每小题 5 分）CAB第 8 页 共 16 页5. 解：（1） ABC（2）（3）(4) BCA(5) （每小题 3 分）解：基本事件的总数 ；基本事件数 。故所求的概率28n25Ck375.014285Cnkp7. 解：任取一零件，设 B1，B 2 分别表示它是第一、二台车床的产品，A 表示它是合格品。 （4 分）则，32)(1BP)(2， （10 分）97.0.|A 98.02.1)|(2P由全概率公式得（15 分）73.37.)|()|
17、()( 2211 BA8. 解：第一位数字不能是 0，这时，基本事件的总数为 1069（3 分）A 表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为 24”。由于电话号码的前两个数字为 24，后五个数字中每一个可以由 0,1,2,9 中任取，故对 A 有利事件的数目为 105。 （6 分）于是（15 分）901)(65P9. 解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i，j） ，i,j=1,2,3,4,5,6，而 i,j 可以重复，故基本事件的总数为 62。 （5 分）A 表示“两颗骰子掷得的点数不同” 。对 A 有利的基本事件数等于所有 ij 排列方式的数目，即从 1，2，3，4，5，6 这六个数字任取
18、其第 9 页 共 16 页二作不可重复的排列方式数 A62，所以 （15 分）65)(2AP10. 解：记 、 ，要求 。 （2 分）第 一 次 为 次 品 B第 一 次 为 正 品 PAB（ ）已知 ，因此（8 分）90P0.1P（ ） ， 而 （ ） （15 分）ABA.1（ ） （ ） （ ） 11. 解：（1）由于 ，所以有 。又由()lim()xFF2lim()1xxABeA于 X 为连续型随机变量， 应为 的连续函数，应有xex xxxx )(li)(li0)(lim200所以 A+B=0，B=-A=-1 ，代入 A、B 之值得 （5 分）01)(2xFx（2）对函数 求导得 的概
19、率密度为 （10 分）()Fx )()(2xexf（3）由 式有ba aFbdfXaP)()(（15 分）4712.0)1(21 21eF12. 解：（1）因为 是一密度函数，所以必须满足 ，于是有（5 分）()fx ()fxd201cd解得 （10 分）38第 10 页 共 16 页（2） （15 分）10110120()()()38PXfxdxfdxd13. 解：由分布函数的性质得：（分）lim(arctn)(arctn)()12xyABxCyABC（分）littarctn)0x y （分）(arcn)(arcn)(t(2yxyx由此可解得 。 （分）21,2CBA14. 解：（1）0,()ln1,XxFe（3 分）2()l2XP（6 分）0(10)X（9 分）55ln2l24F（2） （15 分）,()1Xfxxe其 他，15. 解：因概率密度 在 处等于零，即知()fx,2当 时， （3 分）1x0,xFd当 时， （8 分）2()()1().xxxffd
