1、电力系统分析习题集（第一章）【例 1-1】 在图 1-10 中表示了一个电力网络的等值电路。图中给出了支路阻抗和对地导纳的标么值。其中节点 2 和 4 间，节点 3 和 5 间为变压器支路，变压器漏抗和变比如图所示，试求其导纳矩阵。【解】：根据第 1-2-2 中所述的方法，可以按节点顺序逐行逐列地求出导纳矩阵的有关元素。 015.j.:25.0j 1:05.3.j.j25.0j25.0j380.4+j0.25 0.1+j0.35图 1-10 例系统等值电路图图中接地支路（并联支路）标出的是导纳值，节点间支路（串联支路）标出的是阻抗值。由式(1-31)可以求出节点 1 的自导纳为：29165.3
2、784.1 35.0125.04.030j jjyY 与节点 1 有关的互导纳可根据式(1-32)求出：641509.275.03.1.0.6.4.133122 jjyY支路 2-4 为变压器支路，采用图 1-4(a)的模拟电路，由式(1-31)及式(1-35) 可以求出节点 2 的自导纳为：9802.6453.1 05.1.30.8.15.41)20( 22431j jjjjK 与节点 2 有关的互导纳为：12.76.32 jjY根据式(1-33) ，4906.305.14224 jjKy用类似的方法可以求出导纳矩阵的其它元素。最后得到导纳矩阵为： 3.074603.167.04920.63
3、 4603.1738.54961.9280415.270 920.20.87.645319.326415.09.20.63781 jjjj jjjj jjjj jjjY矩阵中未标数字的元素为零元素。【解】由原方程组可写出其增广矩阵：235102)(首先按式（1-44）对第一行规格化，即用其对角元素 1 除第一行各元素。我们得到：23510)(2然后按式（1-45）消去第一列，我们得到：375012)3(现在对第二列进行消去运算。先按式（1-44）对第二行规格化，即用其对角元素-3 除第二行各元素：3501)2(723然后按式（1-45）消去第二列，我们得到：3574312)(现在对第三列进行消
4、去运算。先按式（1-44）对第三行规格化，即用其对角元素 除第三行各元素：343547312)(然后按式（1-45）消去第三列，我们得到：4537123)(最后，按式（1-44）对第四行规格化，即用其对角元素 除第四行元素，12515124373这样，经消去运算后，我们得到原方程组的同解方程组为：1524337241xx按式（1-48）对以上同解方程组进行回代运算，即可逐个求出 ：1234,x1251431374xx【例 1-3】求出例 1-2 中线性方程组系数矩阵 的因子表，并用该因子表对下列常数项：A求解。T021B【解】对照例 1-2 的求解过程，即可写出系数矩阵 的因子表为：43421
5、32143124512dlluld上面因子表下三角部分的元素就是该例的系数矩阵消去过程中画括弧的数字（对角元素用倒数替代） ；而因子表上三角部分就是该例中系数矩阵消去过程最终的上三角部分。以下用此因子表下三角部分的元素对 按列消去。首先根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得B1b1db出：1/)(1()1db然后用因子表下三角部分第一列元素，按照式（1-53）分别对 运算：432,b3)1(2)1(2)1(2 blb)()(13)(3l1)(0)(4)1(4 blb以上完成了第一列的消去运算，T13)1(B现在再根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：)(2b2d)1(b13)/
6、(/(1)(2) db然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式（1-53）分别对 运算：)1(43,b1)(23)2(3)1()2(3 blb)(1)(24)()(4l以上完成了第二列的消去运算，T1)2( B现在再根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：)2(3b3d)2(b43()(3)/1/db然后用因子表下三角部分第三列元素，按照式（1-53）分别对 运算：)2(4b4531)3(4)2()3(4 blb以上完成了第三列的消去运算，T453)3(1B最后，再根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：)(b4d)3(b1)/(/544(3)(4) db以上完成了全部消去运算
7、，T1143)4( B对照因子表，至此我们相当于得到了如下的同解方程组： 124313241 xx按照式（1-54） ，利用因子表的上三角部分即可逐个求得各变量的值：1)(1)(21)(143121)(1 324324)3(4 xuxubx应该指出，式（1-50）所示的因子表不仅可以用高斯消去法求出，而且可以用三角分解的方法求出。不难验证，上例中的因子表与其系数矩阵 有如下关系：A（1-55）ULA其中：453120L10243U或者还可把 进一步分解为：（1-56）LD在上例中，只要用 中各列对角元素除相应列的各非对角元素，即可得到 ；而 的对角元素则构成 ： L D10243L45301D
8、【例 1-4】试用稀疏技术求解例 1-2 的线性方程组。【解】为了充分利用方程组的稀疏特性，对于例 1-2 的线性方程组：（1-62）232541341xx做如下的变换：（1-63）143241, yxyx则原方程组变为：（1-64）522343141yy我们将用因子表的方法解该方程组。其系数矩阵为：12)(0)(首先对第一行规格化及对第一列消去。在这里仅有两次运算。一次规格化运算和一次消去运算，上式括弧数字就是这两次运算的计算因子。对于 的系数矩阵而言，消去第一列本应包括一次规格化运算和三次4消去运算，但由于上式中 和 均为零，故相应的运算即可免除。这样得到：21a301)2(然后对第二行规
9、格化及对第二列消去。在这里也仅有两次运算。一次规格化运算和一次消去运算，上式括弧数字就是这两次运算的计算因子。对于 的系数矩阵而言，消去第二列本应包括一次规格化运算和二4次消去运算，但由于上式中 为零，故相应的运算即可免除。这样得到：)1(32a4)1(02对第三行规格化及对第三列消也有两次运算。一次规格化运算和一次消去运算，上式括弧数字就是这两次运算的计算因子。消去后得到：)5(012因此，我们可以写出其系数矩阵的因子表：5120应当指出，以上因子表也可以用三角分解公式（1-60） ， （1-61）求得，读者可自行验证。上述因子表含有6 个零元素，因此求解时将减少 6 次乘加运算。以下我们对
10、常数向量求解：T523B首先，用因子表下三角部分的元素对 按列消去。根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：B21b1db21/1)(db然后用因子表上三角部分第一列元素，按照式（1-53）分别对 运算。由于 均为零，故有：432,b312,l32)1(2)1(2blb3)(13)(3l这两步计算完全可以免去，而只需做以下运算，3215)(41)1(4 blb以上完成了第一列的消去运算，T32)1(B现在再根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：)1(2b2d)1(b3/)()2(db然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式（1-53）分别对 运算。由于 为零，故只进行与)1(
11、43,b32l有关的运算：42l32)(42)1()2(4 blb以上完成了第二列的消去运算，T32)2(B现在再根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：)(3b3d)2(b21/)2()3(db然后用因子表下三角部分第三列元素，按照式（1-53）分别对 运算：)2(4b5213)(43)2()3(4 blb以上完成了第三列的消去运算，T523)(B最后，再根据式（1-52）对 规格化，即用 除 ，得出：)(4b4d)3(b1)5/(/)3(4)( db以上完成了全部消去运算，T123)4(B对照因子表，至此我们相当于得到了如下的同解方程组： 12343241yy按照式（1-54） ，
12、利用因子表的上三角部分即可逐个求得各变量的值。由于 ， 以及 为零，故回代12u,323u过程可免除三次乘加运算：123141)(123)(34yuby将以上解代入式（1-63）中即可得到原方程组（1-62 ）的解。【例 1-5】求解如下线性方程组： 021243141VV【解】此线性方程组的系数矩阵和例 1-4 中的式（1-64）一样，只是右端常数项是个稀疏向量：T01BI因此，此线性方程组的因子表也和（1-64）相同：5120将此因子表分解，容易得出：； ； 。120L51D120U首先讨论消去过程。由消去公式（1-53） ，),1()()1()( nkiblbkikii 可知，当 为零时，所有与 有关的运算可以避免。换句话说，下三角阵中第 列元素可)(kikl),( k以忽略不用。在本例中， 为零，故 中第一列元素可以跳过。因此，对该稀疏向量来说，消去过程应从1bL
