1、量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_。 1102、德布罗意关系式为_；宏观物体的 值比微观物体的 值_。 1103、在电子衍射实验中， 2 对一个电子来说，代表_。1104、测不准关系是_，它说明了_。1105、一组正交、归一的波函数 1， 2， 3，。正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。 1106、 (x1， y1， z1， x2， y2， z2) 2 代表_。 1107、物理量 xpy- ypx 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_。1108、质量为 m 的一个粒子在长为 l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函
2、数集为_ ； (2)体系的本征值谱为_， 最低能量为 _ ；(3)体系处于基态时， 粒子出现在 0 l/2 间的概率为_ ；(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长 _ ；(5)若该粒子在长 l、宽为 2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为_，本征值谱为 _。 1109、质量为 m 的粒子被局限在边长为 a 的立方箱中运动。波函数 211(x，y ，z)= _；当粒子处于状态 211 时，概率密度最大处坐标是_；若体系的能量为 ，其简并度是_。247mah1110、在边长为 a 的正方体箱中运动的粒子，其能级 E= 的简并度是_，E=23的简并度是_。287mh1111、
3、双原子分子的振动，可近似看作是质量为= 的一维谐振子，其势能为21mV=kx2/2，它的薛定谔方程是 _。1112、1927 年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与 Cu 的 K 线(波长为 154 pm 的单色 X 射线) 产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为_J。1113、对于波函数 j、 j，其归一性是指 ，正交性是指 。1114、若算符 满足 或满足 , 则算符F为厄米算符。1115、一个质量为 m 的微观粒子在箱长为 a 的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。1116、质量为 m 的一个粒子在长为 l 的一维势箱中运动，
4、(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_ ； (2)体系的本征值谱为_，最低能量为 _ ；1117、质量为 m 的粒子被局限在边长为 a 的立方箱中运动。波函数 211(x，y ，z)= _；当粒子处于状态 211 时，概率密度最大处坐标是_；若体系的能量为 ，其简并度是_。247mah1118、对于立方箱中的粒子，考虑 E 15h2/(8ml2)的能量范围。在此范围内有 个态？在此范围内有 个能级？1119、对氢原子 1s 态： (1) 在 r 为_处有最高值； 2(2) 径向分布函数 在 r 为_处有极大值；24(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_ 。1120、对于立方势箱中的
5、粒子，考虑出 的能量范围，在此范围内有 个能2815mahE级？ 在此范围内有 个状态？二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：-( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1202、任一自由的实物粒子，其波长为 ，今欲求其能量，须用下列哪个公式-( )(A) (B) chE 2mhE(C) (D) A，B，C 都可以 2)5.1 (e1203、下列哪些算符是线性算符- ( ) (A) (B) 2 dx(C) 用常数乘 (D) 1204、下列函数中 (A) cos kx (B)
6、e -bx (C) e-ikx (D) 2kx(1) 哪些是 的本征函数；- ( ) dx(2) 哪些是的 本征函数；- ( ) 2(3) 哪些是 和 的共同本征函数。- ( ) 2dx1205、线性算符 具有下列性质 R(U + V) = U+ V (cV) = c V R式中 c 为复函数，下列算符中哪些是线性算符？ -( ) (A) U=U， =常数 A(B) U=U* B(C) U=U2 C(D) U = Dxd(E) U=1/U E1206、电子自旋存在的实验根据是：- ( )(A) 斯登 -盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子
7、能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数 n 的增大：- ( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 En+1-En 随着势箱长度的增大： -( )(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 1208、立方势箱中的粒子，具有 E= 的状态的量子数。 nx ny nz 是- ( )281mah(A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态 (x)=sin 的 一维势箱中的粒子，出现在 x= 处的概率为- ( ) 4a(A) P= ( ) = sin( ) = sin = 4a4
8、a2(B) P= ( )2= (C) P= ( ) = 1a41(D) P= ( )2= a4a(E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对1210、在一立方势箱中， 的能级数和状态数分别是(势箱宽度为 l，粒子质量27mlhE为 m)：-( ) (A) 5， 11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) -（ ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学
9、家是：- -（ ） (A) de Brglie (B) A. Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrdinger 1213、微粒在间隔为 1eV 的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数 应为：v-（ ） (A) 4032 cm-1 (B) 8065 cm-1 (C) 16130 cm-1 (D) 2016 cm-1 (1eV=1.60210-19J) 1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：- -（ ） (A) 6.0210-23 尔格 (B) 6.62510-30 尔格秒 (C) 6.62610-34 焦耳秒 (D) 1.3810-16 尔
10、格秒 1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：- -（ ） (A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：- -（ ） () 电子自旋( 保里原理) () 微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 () 描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 () 微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：- -（ ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得 (C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设 1218、一电子
11、被 1000V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？（A）X 光区 （B）紫外区（C）可见光区 （D）红外区1219、由戴维逊革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距 d 为 104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为 45，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？- ( )（A）10 （B ）25 （C）70 （D）1501220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数 n，下面论述正确的是 ？（A）可取任意整数 （B） 与势箱宽度一起决定节点数 （C） 能量与 n2 成正比例 （D） 对应于可能的简并态三、判断题（对判断给出的命题的
12、对错，正确的题号后画，错误的题号后画）1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。1303、任何波函数 (x， y， z， t)都能变量分离成 (x， y， z)与 (t)的乘积。1304、 =cosx， px 有确定值， p2x 没有确定值，只有平均值。1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为 l， 基态时粒子出现在 x=l/2 处的概率密度最小。1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。1308、光照射到金属表面时，金属
13、中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。四、简答题1401、对一个运动速率 vc 的自由粒子，有人作了如下推导 ： mvEvhpmv21A B C D E 结果得出 的结论。问错在何处？ 说明理由。211402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？1403、被束缚在 0xa 区间运动的粒子，当处于基态时，出现在 0.25ax0.7a 区间内的概率是多少？1404、一维势箱中一粒子的波函数 n(x)=(
14、2/l)1/2sin(nx/l)是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。 （A） （） （） （） = xp2xpHmh2)/(2dx1405、说明下列各函数是 ， 2， z 三个算符中哪个的本征函数？ HM2pz， 2px 和 2p11406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为 ， a 为势箱的长度，试问当xnsi2粒子处于 n=1 或 n=2 的状态时，在 0 a/4 区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n 取几时更大一些，请通过计算说明。1407、 是否是算符 的本征函数，若是，本cos35)dsinco(2F征值是多少？1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归
15、一化的，请给出归一化系数。（原子轨道 是已归一化的）321,a. 21b. 3241409、已知一函数 f(x)=2e2x，问它是否是 的本征函数？相应的本征值是多少？xp1410、有一粒子在边长为 a 的一维势箱中运动。(1)计算当 n=2 时，粒子出现在 0 x a/4 区域中的概率；(2)根据一维势箱的 图，说明 0xa/4 区域中的概率。2五、证明题1501、已知一维运动的薛定谔方程为: +V（x） =Emh28d1 和 2 是属于同一本征值的本征函数， 证明: 1 - 2 =常数xd11502、试证明实函数 2 ()=(1/)1/2cos2和 2()=(2/)1/2sin2cos都是
16、 方程 + 4 ()=0 的解。21503、证明函数 x+iy，x-iy 和 z 都是角动量算符 的本征函数，相应的本征值是多少？zM1504、已知有 2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的 分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为 Ek= k=1，2，2n 22)1(8mrh其中，m 是电子质量，r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁 )波长 与 n 成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为 l，而此台阶位于 l/2l 之间。1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。1506、证明厄
17、米算符的本征值是实数。1507、已知 和 是厄米算符，证明 ( + )和 2 也是厄米算符。ABAB1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数 是三cos21维空间中运动的自由粒子（势能 V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。已知 。)sin)(sini1)(12 2222 rrrm1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数是在三维空间中运动的自由粒子（势能 V=0）的薛定谔方i21esnco程的解，并求粒子的能量。已知 。)sin1)(sini1)(12 2222 rrrm1510、证明波函数 是角动量平方的本征函数，并求粒子的iesco角动量。已知角动量
18、平方算符 。)sin1i( 222 M六、计算题1601、波长 =400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为 600 nm。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是 2.26 eV。当波长为 350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.60210-19J， 电子质量 me=9.10910-31 kg) 1603、设体系处在状态 =c1 211+ c2 210 中， 角动量 M2 和 Mz 有无定值。其值为多少？若无，则求其平均值。1604、函数 (x)= 2 sin - 3 sin 是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？axa
19、x如果是， 其能量有没有确定值(本征值) ？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？1605、在长为 l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为 n 的状态， 求： (1) 在箱的左端 1/4 区域内找到粒子的概率； (2) n 为何值时， 上述概率最大？ (3) 当 n时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？ 1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 0= ( )1/4 exp- 2x2/2 2此处， =(42k/h2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数 在 x 取什么值时有最大
20、值？ 计算最大值处 2 的数值。1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度 l=100nm，计算量子数为 n 时的 de Broglie波长以及 n=1 和 n=2 时氢分子在箱中 49nm 到 51nm 之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为 m1和 m2的质点 ， 用长为 R 的、没有质量的棒连接着，构成一个刚性转子。 (1) 建立此转子的 Schrdinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；(2) 求该转子基态的角动量平均值。已知角动量算符 = z=-i 。M2h1609、氢原子中，归一化波函数
21、： （ 和 都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a）R；能量 出现的概率是（b） ；角动量平均值是（c） ；角动量 出现的概率是（d） ；角动量 Z 分量的平均值是（e） ；角动量 Z 分量 出现的概率是（f） 。1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为： 则（a）此状态的能量为； （b）此状态的角动量的平方值； （c）此状态角动量在 Z 方向的分量为；（d）此状态的 值分别为；(e)此状态角度分布的节面数为；2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨道角动量等于（a） ； 原子总自旋角动量等于（b） ；原子总角动量等于（c ） ； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（d）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。 2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l， m， ms 等量子数可取什么值？这个
