1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）2|log0Mx2|4NxMNA B C D1,2,1,0,22.已知 为虚数单位，设复数 ，则 的虚部为（ ）i izzA B C2 D-2i3.已知双曲线 的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ）210xyaA B C D y2x1yx12yx4.在等比数列 中， 是方程 640的两根，则 （ ）na218, 4160aA6 B2 C.2 或 6 D-25.设实数 ， ， ，则（ ）log313l2b01
2、sincxdA B C. Dabcabacbca6.执行如下程序，输出 的值为（ ）SA B C. D1072510827201672015437.函数 的大致图象是（ ）xef:A B C. D8.如图，边长为 1 的网格上为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D21342343439.2016 年 11 月 16 日18 日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求 必须相同，且每,CDEF AB、组至少 2 人，则不同的分配方法有（ ）A18 种 B20 种 C. 22 种 D以上都不
3、对10.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上的一点，且 ， 为垂足，若直线24xyFlPPAl的倾斜角为 ，则 （ ）F135PA1 B C.2 D2211.已知 是正三棱椎，其外接球 的表面积为 ，且 ，则三PCO1630APOBCP棱锥的体积为（ ）A B C. D5349343212.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围11sincos42fxxaax0,a是（ ）A B C. D10,716,091,7,0第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式 的展开式中第 3 项与第 4 项的二项式系数最大，则展开式中含
4、项的系3nxN x数为 14.已知菱形 的中心为 ， ， ，则 等于 ABCDO3BAD1OABD:15.意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，即 ， ，此数列在现代物理、准晶体结1Fx123,nFnN构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列 ，则 2017b n16.已知 满足约束条件 ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值是 ,xy,41,yx22mxym三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分
5、 12 分）设锐角 中，角 的对边分别为 ，且 是 与 的等差中项.ABC、 、 abc、 、 2sincoaACsin2A（）求角 的大小；（）若 ，求 面积的最大值.2a18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 于点 ， 为线段 上一点，且PABCDABCDOEPC.ACE（）求证： 平面 ；OEABCD（）若 ， ， ， ，且 ，求二面角 的余弦值./B223PABCDPA19.（本小题满分 12 分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对 100 辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值 ，标准差 ，以频率
6、值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认852为是需矫正速度，现规定车速小于 或车速大于 是需矫正速度.3（）从该快速车道上所有车辆中任取 1 个，求该车辆是需矫正速度的概率；（）从样本中任取 2 个车辆，求这 2 个车辆均是需矫正速度的概率；（）从该快速车道上所有车辆中任取 2 个，记其中是需矫正速度的个数为 ，求 的分布列和数学期望.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的一个顶点坐标为 ，离心率为 .2:10xyCab0,12（）求椭圆 的标准方程；（）若点 是椭圆 上的动点（不在 轴上） ，过右焦点 作直线 的垂线交直线 于点 .判Px2F2P:2lxQ断点 运动时，直线 Q与椭
7、圆 的位置关系，并证明你的结论.C21.（本小题满分 12 分）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .ln,axfbR1,f 1yx（）求实数 的值及函数 的单调区间；,f（）当 时，比较 与 （ 为自然对数的底数）的大小.1212fxfx12xe请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 ，以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线:10lxyOx的极坐标方程为 .C24sin5（）将直线 写成参数方程 （ 为参数， ）的形式，并求曲线的直角坐 标方l1cosix
8、tyt0,C程；（）设直线 与曲线 交于点 （点 在第一象限）两点，若点 的直角坐标为 1,0，求lC,ABM的面积.OMA23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .1fxmxR（）若 ，求函数 的值域；f（）若 ，解不等式 .23x试卷答案一、选择题1. 【解析】集合 2|log0|1Mxx， ，因此A 2|4|2NxxMN.故选 .1,22. 【解析】 ，故 ，其虚部为 2.故选 .C1izi2ziC3. 【解析】实轴长 ，故 ，因此渐近线方程为 ，故选 .D24a12byxaD4. 【解析】因为 是方程 的两根，所以 ， ，所以 20a，B18,260x2186
9、184:，又数列 为等比数列，所以 ，所以 ，所以180an1a10a，故选 B.24610a5. A 【解析】 ， ，且 ，易求得2log3133logl22b33log2l1b01cs|x，故 ，故选 A.o2abc6. 【解析】依题意可得B111135207235207S ，故选 .108277.C 【解析】由题得， ，所以不选 项.当 时， ，故排221xxef fe:,AD0xy除 项.故选 .B8. 【解析】依据三视图，知所求几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥和一个半圆锥的组合体，故其体积为 ，故选 B.21142333V 9.C 【解析】分组的方案有 2、4 和 3、3 两类.
10、第一类有 种不同的分配方法；第二类有241CA种不同的分配方法，故共有 种不同的分配方法，故选 C.13248A48N10. 【解析】 中， ，抛物线焦点到准线的距离 ，故 .所以PFPA2psin45AF，又 ，所以 ，故选 C.2AF45PAFcos452PAF11. 【解析】如图，B设 的中心为 ，易知球 的半径 ，设 ABC的边长为 ，ABCSO2R2aAPOBCP， ， ， ， ，302OP3B 21SOS3S中， ，解得 ， ，三棱锥 的体积SB aR3a PAB213sin60V.故选 .94B12. 【解析】 .D1cos23incos41fxaxaxsin23cosinfxa
11、x，依题意，函数 在区间 上为减函数，故1af,042sinco+3sincofxxax40a恒成立，因此 在区间 ,04上恒成立，令2isi40xasintx，因此 ，若 对 恒成立，即cos2in0,14x23,1gttgt,1t，因为 ，故 恒成立，即 ，设 ，则23ta3t24ta2min4ta234tt，故 在区间 上单调递增，所以 ，所以 .故选 D.23804tt0,1min0t0a二、填空题13.90 【解析】依题意知 ， 的通项公式为 ，令 ，得 ，5n53x52153rrTCx1r2故含 项的系数为 . x23590TC14. 【解析】 . 2 313coscos62OAB
12、DBAAB:15.1 【解析】斐波那契数列的前几项为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，则数列 的前几项为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列 nb是周期数列，其周期为 8，因nb此 . 201716. 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图.85令 ，可知 为点 与可行域内点的连线的斜率，由图知 的取值范围是 1,3，即0ytxt0, t ytx. 恒成立 2minxy，又1,322mxy222xyxy，而当 时， ，故 ，因此 .所以实数 的最大1t1,3tx102,3t28,5t85m值是
13、.85三、解答题， .0,Bsin0B.1sin2A又 为锐角， .6（） ，222cos323abAbcbc，43c当且仅当 时，取等号.62b的面积 .ABC 11sin42323ScA即 面积的最大值为 （当且仅当 6bc时，等号成立）.18.解：（） ， ， ，BDCEB平面 ，AC E平面 ，O.又 平面 ， 平面 ，PBDACBD.AC又 都是平面 中的直线，,OEP./又 平面 ，PBD平面 . AC（） ， ， ，/22A且 ， ，BD BDC又 ，AC在 中， ， O1同理， .2由（） ，知 平面 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建EABCDO,OBCE
14、xyz立空间直角坐标系 ，xyz则 ， ， ， .1,0B,10C2,0D,23P则 ， .2D3P设平面 的一个法向量为 ，,nxyz则 ，即 ，0,nCP:03,yz取 ，则 ，即 .1x212n取棱 的中点 ，连接 .BMO易证得 平面 .PAD平面 的一个法向量为 . 1,02易知二面角 所成的平面角为锐角，C，cos,6OMn:二面角 CPDA的余弦值为 . 219.解：（）记事件 为“从该快速车道上所有车辆中任取 1 个，该车辆是需矫正速度”.因为 ， ，378.4289.4由样本条形图可知，所求的概率为 3278.49.4PAxPxPxx.102（）记事件 为“从样本中任取 2 个车辆，这 2 个车辆均是需矫正速度”.B由题设可知样本容量为 100，又需矫正速度个数为 5 个，故所求概率为 .251049CPB
